Rozwiązanie:
Rysunek w załączniku.
Z twierdzenia cosinusów obliczamy długość trzeciego boku trójkąta, niech to będzie [tex]c[/tex] :
[tex]c^{2}=16+64-2*4*8*cos60\\c^{2}=80-64*\frac{1}{2}\\c^{2}=48\\c=\sqrt{48} =4\sqrt{3}[/tex]
Zatem [tex]c=x+y=4\sqrt{3}[/tex]. Ponadto z twierdzenia o dwusiecznej kąta w trójkącie:
[tex]\frac{x}{y} =\frac{4}{8}=\frac{1}{2}\\y=2x[/tex]
Stąd:
[tex]x+y=x+2x=3x=4\sqrt{3}\\x=\frac{4\sqrt{3} }{3} \\y=\frac{8\sqrt{3} }{3}[/tex]
Teraz zauważmy, że trójkąt o takich bokach jest prostokątny, gdyż:
[tex]4^{2}+(4\sqrt{3} )^{2}=8^{2}\\16+48=64\\64=64\\L=P\\[/tex]
Zatem długość odcinka [tex]CD[/tex] obliczymy z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie [tex]ADC[/tex]:
[tex]|CD|^{2}=x^{2}+4^{2}=(\frac{4\sqrt{3} }{3})^{2}+16\\|CD|^{2}=\frac{48}{9}+16=\frac{192}{9}\\|CD|=\frac{\sqrt{192} }{3}=\frac{8\sqrt{3} }{3}[/tex]
