Rozwiązanie:
Zadanie 12.
[tex]f(x)=\frac{4-m}{x}\\g(x)=x^{2}+5x+m[/tex]
Na początku zauważmy, że jeżeli [tex]m=4[/tex], to [tex]f(x)=0[/tex], a warunki zadania nie są spełnione.
Oczywiście [tex]x\neq 0[/tex]. Przyrównujemy funkcje do siebie:
[tex]f(x)=g(x)\\\frac{4-m}{x}=x^2+5x+m\\4-m=x^3+5x^2+mx\\ x^3+5x^2+mx+m-4=0\\W(-1)=-1+5-m+m-4=0[/tex]
Po podzieleniu przez dwumian [tex](x+1)[/tex] dostaniemy:
[tex](x+1)(m+x^{2}+4x-4)=0[/tex]
Teraz zajmiemy się drugim czynnikiem:
[tex]x^{2}+4x+m-4=0\\\Delta=16-4*1*(m-4)=16-4m+16=32-4m\\\Delta>0\\32-4m>0\\4m<32\\m<8[/tex]
Musimy jeszcze sprawdzić przypadek, gdy jednym z miejsc zerowych tego trójmianu jest [tex]x=-1[/tex]. Pierwiastki trójmianu to:
[tex]x_{1}=\frac{-4+\sqrt{32-4m} }{2} \\x_{2}=\frac{-4-\sqrt{32-4m} }{2}[/tex]
Zatem:
[tex]x_{1}\neq -1\\\frac{-4+\sqrt{32-4m} }{2} \neq -1\\-4+\sqrt{32-4m} \neq -2\\\sqrt{32-4m}\neq 2[/tex]
Ponieważ wcześniej już uwzględniliśmy, że [tex]\Delta>0[/tex], to możemy podnieść równość stronami do kwadratu:
[tex]32-4m\neq 4\\4m\neq 28\\m\neq 7[/tex]
Gdy [tex]\Delta>0[/tex], to trójmian ma dwa różne pierwiastki, zatem mamy pewność, że [tex]x_{2}\neq -1[/tex].
Uwzględniamy wszystkie warunki w zadaniu i dostajemy:
[tex]m \in (-\infty,4) \cup (4,7) \cup (7,8)[/tex]
