Rozwiązanie:
Rysunek w załączniku.
Długości odpowiednich odcinków wynikają z treści zadania oraz twierdzenia o odcinkach stycznych.
Na początek obliczymy [tex]a[/tex] korzystając z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie prostokątnym [tex]PSC[/tex] (styczna do okręgu jest zawsze prostopadła do promienia):
[tex](a-2)^{2}+2^{2}=(2\sqrt{10} )^{2}\\a^{2}-4a+4+4=40\\a^{2}-4a-32=0\\\Delta=16-4*1*(-32)=144\\a_{1}=\frac{4+12}{2}=8\\a_{2}=\frac{4-12}{2}<0[/tex]
Drugiego rozwiązania nie bierzemy pod uwagę, gdyż bok trójkąta nie może być ujemny.
Teraz (po podstawieniu [tex]a=8[/tex]) możemy obliczyć długość odcinka [tex]b[/tex] z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie [tex]ABC[/tex] :
[tex]8^{2}+b^{2}=(b+4)^{2}\\64+b^{2}=b^{2}+8b+16\\64=8b+16\\8b=48\\b=6[/tex]
Teraz możemy już liczyć pole trójkąta, gdyż mamy długości jego przyprostokątnych:
[tex]P=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}*6*8=24[/tex]
