Rozwiązanie:
Na początek obliczymy długości boków tego prostokąta, niech będą nimi [tex]a[/tex] oraz [tex]b[/tex] przy czym [tex]a<b[/tex]. Wówczas:
[tex]\left \{ {{ab=48} \atop {2(a+b)=28}} \right. \\\left \{ {{ab=48} \atop {a+b=14}} \right.[/tex]
Z drugiego równania mamy [tex]b=14-a[/tex], po wstawieniu do pierwszego równania:
[tex]a(14-a)=48\\-a^{2}+14a-48=0\\\Delta=196-4*(-1)*(-48)=4\\a_{1}=\frac{-14+2}{-2}= 6cm\\a_{2}=\frac{-14-2}{-2} =8cm[/tex]
Oczywiście odpowiednio [tex]b_{1}=8cm, b_{2}=6cm[/tex]. Założyliśmy, że [tex]a<b[/tex], więc:
[tex]\left \{ {{a=6cm} \atop {b=8cm}} \right.[/tex]
Bok rombu to przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego o bokach [tex]\frac{1}{2}a[/tex] i [tex]\frac{1}{2}b[/tex], czyli o bokach [tex]3cm[/tex] i [tex]4cm[/tex]. Z tw. Pitagorasa łatwo obliczyć, że bok rombu ma długość [tex]5cm[/tex]. Obwód rombu wynosi:
[tex]Obw.=4*5=20cm[/tex]
Teraz potrzeba nam jeszcze obliczyć funkcje trygonometryczne kąta ostrego tego rombu. Obliczamy pole rombu (jest to pole prostokąta pomniejszone o cztery trójkąty prostokątne opisane powyżej):
[tex]P=48-4*\frac{1}{2}*3*4=24cm^{2}[/tex]
Stąd łatwo obliczymy sinus kąta ostrego rombu:
[tex]P=a^{2}sin\alpha =24cm^{2}\\25sin\alpha =24\\sin\alpha =\frac{24}{25}[/tex]
Z jedynki trygonometrycznej:
[tex]cos\alpha =\sqrt{1-\frac{576}{625} } =\sqrt{\frac{49}{625} }=\frac{7}{25}[/tex]
Dalej mamy:
[tex]tg\alpha =\frac{sin\alpha }{cos\alpha } =\frac{24}{25}*\frac{25}{7}=\frac{24}{7} \\ctg\alpha =\frac{1}{tg\alpha }=\frac{7}{24}[/tex]
