[tex]x^2+(k+1)x+1=0\\\left \{ {{\Delta_x>0} \atop {\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}<8}} \right[/tex]
Skupmy się na pierwszej nierówności
[tex]b^2-4ac>0\\(k+1)^2-4*1*1>0\\k^2+2k+1-4>0\\k^2+2k-3>0[/tex]
[tex]\Delta_k=2^2-4*1*(-3)=4+12=16\\\sqrt{\Delta_k}=\sqrt{16}=4\\k_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta_k}}{2a}=\frac{-2+4}{2*1}=\frac22=1\\k_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta_k}}{2a}=\frac{-2-4}{2*1}=\frac{-6}{2}=-3\\k\in(-\infty;-3) \cup (1;\infty)[/tex]
Przejdźmy do drugiego równania
[tex]\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}<8\\\\\frac{x_2}{x_1x_2}+\frac{x_1}{x_1x_2}<8\\\\\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}<8[/tex]
Przypomnijmy sobie wzory Viete'a
[tex]\left \{ {{x_1+x_2=-\frac{b}{a}} \atop {x_1x_2=\frac{c}{a}}} \right.[/tex]
[tex]\dfrac{-\frac{b}{a}}{\frac{c}{a}}<8~~~~Nasze~rownanie~mialo~postac:~x^2+(k+1)x+1=0\\\dfrac{-\frac{k+1}{1}}{\frac{1}{1}}<8\\\dfrac{-(k+1)}{1}<8\\\dfrac{-k-1}{1}<8\\-k-1<8\\-k<9|:(-1)\\k>9\\k\in(9;\infty)[/tex]
Łączymy wyniki obu równań:
[tex]k\in(-\infty;-3) \cup (1;\infty)\\k\in(9;\infty)[/tex]
[tex]k\in((-\infty;-3) \cup (1;\infty))\cap(9;\infty)=(9;\infty)[/tex]
Odp. Dla [tex]k\in(9;\infty)[/tex]
