Odpowiedź i szczegółowe wyjaśnienie:
W podstawie jest kwadrat o boku 8.
Pole podstawy Pp:
[tex]P_P=a^2\\P_P=8^2=64\ [j^2][/tex]
Aby wyznaczyć objętość (V) ostrosłupa korzystamy ze wzoru:
[tex]V=\frac13P_P\cdot H[/tex]
Musimy znaleźć wysokość tego ostrosłupa (H). Aby ją znaleźć musimy obliczyć przekątną podstawy (d) a potem wykorzystać Twierdzenie Pitagorasa. A więc:
Przekątna podstawy (d) ma miarę:
[tex]d=a\sqrt2\\d=8\sqrt2\ [j][/tex]
Teraz "budujemy" Twierdzenie Pitagorasa:
Wysokość (H) opada na połowę przekątnej podstawy (kwadratu), tworząc z krawędzią boczną trójkąt prostokątny. Zatem:
[tex]H^2+(\frac{d}{2})^2=10^2\\\\H^2=10^2-(\frac{d}{2})^2\\\\H^2=100-(\dfrac{8\sqrt2}{2})^2\\\\H^2=100-(4\sqrt2)^2\\\\H^2=100-16\cdot2\\\\H^2=100-32\\\\H^2=68\\\\H=\sqrt{68}=\sqrt{4\cdot17}=2\sqrt{17}\ [j}\\[/tex]
Mając wyznaczoną wysokość (H) możemy już wyznaczyć objętość ostrosłupa (V):
[tex]V=\frac13P_P\cdot H\\\\V=\frac13\cdot64\cdot2\sqrt{17}=\frac{128}{3}\sqrt{17}=42\frac{2}{3}\sqrt{17}\ [j^3][/tex]
Pole powierzchni tego ostrosłupa (Pc) składa się z: pola podstawy (Pp) oraz czterech pól bocznych (Pb) trójkątów równoramiennych o ramionach 10 i podstawie 8.
Zatem:
[tex]P_P=64\ [j^2]\\\\P_B=\frac12a\cdot h[/tex]
Wysokość trójkąta obliczymy z Twierdzenia Pitagorasa:
[tex]h^2+(\frac{a}{2})^2=10^2\\h^2+(\frac82)^2=10^2\\h^2+4^2=10^2\\h^2+16=100\\h^2=100-16\\h^2=84\\h=\sqrt{84}=\sqrt{4\cdot21}=2\sqrt{21}\ [j][/tex]
Zatem, pole powierzchni tego ostrosłupa (Pc) wynosi:
[tex]P_C=P_P+4P_B\\\\P_C=64+4\cdot\frac12\cdot8\cdot2\sqrt{21}\\\\P_C=64+32\sqrt{21}\ [j^2][/tex]
