Rozwiązanie:
[tex]log_{x}2\sqrt{2} -2=(log_{x}\sqrt{2})^{2} \\D: x>0 \wedge x\neq 1\\[/tex]
Zauważmy, że:
[tex]log_{x}2\sqrt{2} =log_{x}2^{\frac{3}{2} }=\frac{3}{2} log_{x}2\\(log_{x}\sqrt{2} )^{2}=(log_{x}2^{\frac{1}{2}})^{2}=(\frac{1}{2}log_{x}2)^{2}=\frac{1}{4}log_{x}^{2}2[/tex]
Zatem nasze równanie możemy zapisać tak:
[tex]\frac{3}{2} log_{x}2-2=\frac{1}{4}log_{x}^{2}2 \\6log_{x}2-8=log_{x}^{2}2\\log_{x}^{2}2-6log_{x}2+8=0[/tex]
Teraz użyjemy podstawienia, niech [tex]t=log_{x}2[/tex], wówczas:
[tex]t^{2}-6t+8=0\\\Delta=36-4*1*8=4\\t_{1}=\frac{6-2}{2} =2\\t_{2}=\frac{6+2}{2}=4[/tex]
Zatem:
[tex]log_{x}2=2 \vee log_{x}2=4\\log_{x}2=log_{x}x^{2} \vee log_{x}2=log_{x}x^{4}\\x^{2}=2 \vee x^{4}=2\\x=-\sqrt{2} \vee x=\sqrt{2} \vee x=-\sqrt[4]{2} \vee x=\sqrt[4]{2}[/tex]
Uwzględniamy dziedzinę naszego równania i otrzymujemy:
[tex]x=\sqrt{2} \vee x=\sqrt[4]{2}[/tex]
