Odpowiedź:
zad 1
an = 14 - 3n , gdzie n ∈ N⁺
14 - 3n = 0
- 3n = - 14
3n = 14
n = 14/3 = 4 2/3
Ponieważ n ∈ N⁺ 1 więc ciąg nie ma wyrazów równych 0
zad 2
an = n² - 4 , gdzie n ∈ N⁺
n² - 4 > 0
(n - 2)(n + 2) > 0
n - 2 > 0 ∧ n + 2 > 0 ∨ n - 2 < 0 ∧ n + 2 < 0
n > 2 ∧ n > - 2 ∨ n < 2 ∧ n < - 2
n > 2 ∨ n < - 2
Ponieważ n ∈ N⁺ więc n > 2
Wyrazy większe od 2 (czyli 3 , 4 , 5 , 6 ...... ) są większe od 0
zad 3
an = 3n - n²
a₁ = 3 * 1 - 1² = 3 - 1 = 2
a₂ = 3 * 2 - 2² = 6 - 4 = 2
a₃ = 3 * 3 - 3² = 9 - 9 = 0
a₄ = 3 * 4 - 4² = 12 - 16 = - 4
a₅ = 3 * 5 - 5² = 15 - 25 = - 10
zad 4
an = (- 1)ⁿ/n
a₁ = - 1/1 = - 1
a₂ = (- 1)²/2 = 1/2
a₃ = (- 1)³/3 = - 1/3
a₄ = (- 1)⁴/4 = 1/4
a₅ = (- 1)⁵/5 = - 1/5
zad 5
an = 2ⁿ - n
a₁ = 2¹ - 1 = 2 - 1 = 1
a₂ = 2² - 2 = 4 - 2 = 2
a₃ = 2³ - 3 = 8 - 3 = 5
a₄ = 2⁴ - 4 = 16 - 4 = 12
a₅ = 2⁵ - 5 = 32 - 5 = 27
zad 6
an = (3 + n)/n
a(n + 1) = (3 + n + 1)/(n + 1) = n + 4)/(n + 1)
zad 7
an = (3n - 4)/(2n + 1) = [3(n + 1) - 4]/[2(n + 1) + 1] = (3n + 3 - 4)/(2n +2 + 1) =
= (3n - 1)/(2n + 3)
zad 8
an = (2k - 3)n - 6
Ciąg jest rosnący , gdy :
a(n + 1) - an > 0
a(n + 1) = (2k - 3)(n + 1) - 6 = 2kn - 3n + 2k - 3
a(n + 1) - an = 2kn - 3n + 2k - 3 - [(2k - 3)n - 6] =
= 2kn - 3n + 2k - 3 - 2kn + 3n + 6 = 2k + 3
2k + 3 > 0
k > - 3
k > - 3/2
k > - 1,5
k ∈ (- 1,5 , + ∞ )
zad 9
an = (k² - 1)n + 4
a(n + 1) = (k² - 1)(n + 1) + 4 = k²n - n + k² - 1
a(n + 1) - an = k²n - n + k² - 1 - [(k² - 1)n + 4] =
= k²n - n + k² - 1 - k²n + n - 4 = k² - 5
k² - 5 > 0
(k - √5)(k + √5) > 0
k < √5 ∧ k < - √5 ∨ k > √5 ∧ k > - √5
k < - √5 ∨ k > √5
k ∈ (- ∞ , - √5 ) ∪ (√5 , + ∞ )
