Rozwiązanie:
Dla funkcji malejących prawdziwa jest zależność:
[tex]x_{1}<x_{2}\\f(x_{1})>f(x_{2})\\x_{1} \wedge x_{2} \in D_{f}[/tex]
U nas (zakładamy, że [tex]x_{1}<x_{2}[/tex] ):
[tex]f(x_{1})=\frac{2}{x_{1}} \\f(x_{2})=\frac{2}{x_{2}}[/tex]
Sprawdzamy, czy wyżej wymieniona zależność zachodzi:
[tex]f(x_{1})>f(x_{2})\\\frac{2}{x_{1}}>\frac{2}{x_{2}} \\\frac{1}{x_{1}} >\frac{1}{x_{2}}[/tex]
Ponieważ [tex]x_{1} \wedge x_{2} \in (0,\infty)[/tex], to:
[tex]x_{2}>x_{1}[/tex]
otrzymaliśmy oczywiście nierówność prawdziwą (patrz założenie), co kończy dowód.
