Odpowiedź:
[tex]a=4\\b=6\\c=9[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Trzy krawędzie zbiegające się w jednym wierzchołku to odpowiednio wartości: szerokości, wysokości i głębokości. Oznaczmy je poprzez: [tex]a, \ b, \ c[/tex] oraz przyjmijmy, że [tex]a\leq b\leq c[/tex] i [tex]a, \ b, \ c>0[/tex] wówczas zachodzą następujące zależności:
[tex]\frac{b}{a} =\frac{c}{b}[/tex]
[tex]abc=216[/tex]
Wstawmy do nich warunek z zadania:
[tex]c=5+a[/tex]
[tex]\frac{b}{a} =\frac{5+a}{b} \\\\ab\cdot(5+a)=216[/tex]
Rozwiązujemy układ równań, uprośćmy najpierw warunki:
[tex]5a+a^2=b^2[/tex]
[tex]5ab+a^2b=216[/tex]
Pomnóżmy pierwsze równanie obustronnie przez [tex]b[/tex], otrzymamy wtedy:
[tex]5ab+a^2b=b^3[/tex]
Wstawiamy do drugiego:
[tex]b^3=216\\b=6[/tex]
Obliczamy [tex]a[/tex] z pierwszego równania:
[tex]5a+a^2=36\\a^2+5a-36=0\\\Delta=169\\a_1=-9\notin \mathbb{D}\\a_2=4[/tex]
Wracamy do [tex]c[/tex]:
[tex]c=5+4=9[/tex]
