Odpowiedź :
Rozwiązanie:
Zadanie 50.
a)
[tex]1+2x+4x^{2}+8x^{3}+...[/tex]
Stąd:
[tex]a_{1}=1\\q=2x[/tex]
Warunek zbieżności to [tex]|q|<1[/tex], więc:
[tex]|2x|<1\\|x|<\frac{1}{2}\\x<\frac{1}{2} \wedge x>-\frac{1}{2}\\x \in (-\frac{1}{2},\frac{1}{2} )[/tex]
Suma:
[tex]S=\frac{a_{1}}{1-q} =\frac{1}{1-2x}[/tex]
b)
[tex]1+\frac{1}{3x}+\frac{1}{9x^{2}} +\frac{1}{27x^{3}}+...[/tex]
Stad:
[tex]a_{1}=1\\q=\frac{1}{3x}[/tex]
Warunek zbieżności to [tex]|q|<1[/tex], więc:
[tex]|\frac{1}{3x}|<1\\\frac{1}{3x}<1 \wedge \frac{1}{3x}>-1\\\frac{1}{3x}-1<0 \wedge \frac{1}{3x}+1>0\\\frac{1-3x}{3x}<0 \wedge \frac{1+3x}{3x}>0 \\3x(1-3x)<0 \wedge 3x(1+3x)>0\\x(1-3x)<0 \wedge x(1+3x)>0\\x \in (-\infty,1) \cup (\frac{1}{3} ,\infty) \wedge x \in (-\infty,-\frac{1}{3}) \cup (0,\infty)\\x \in (-\infty,-\frac{1}{3}) \cup (\frac{1}{3} ,\infty)[/tex]
Suma:
[tex]S=\frac{a_{1}}{1-q}=\frac{1}{1-\frac{1}{3x} } =\frac{1}{\frac{3x-1}{3x} } =\frac{3x}{3x-1}[/tex]
Zadanie 51.
a)
[tex]1+\frac{1}{2-x} +\frac{1}{(2-x)^{2}} +...=3-2x[/tex]
Stąd:
[tex]a_{1}=1\\q=\frac{1}{2-x}[/tex]
Warunek zbieżności to [tex]|q|<1[/tex], więc:
[tex]|\frac{1}{2-x}|<1\\\frac{1}{2-x} <1 \wedge \frac{1}{2-x} >-1\\\frac{1}{2-x} -1<0 \wedge \frac{1}{2-x} +1 >0\\\frac{x-1}{2-x} <0 \wedge \frac{3-x}{2-x} >0\\(x-1)(2-x)<0 \wedge (3-x)(2-x)>0\\x \in (-\infty,1) \cup (2,\infty) \wedge x \in (-\infty,2) \cup (3,\infty)\\x \in (-\infty,1) \cup (3,\infty)[/tex]
Suma:
[tex]S=\frac{a_{1}}{1-q} =\frac{1}{1-\frac{1}{2-x} } =\frac{1}{\frac{1-x}{2-x} } =\frac{2-x}{1-x}[/tex]
Zatem:
[tex]\frac{2-x}{1-x}=3-2x\\2-x=(3-2x)(1-x)\\2-x=3-3x-2x+2x^{2}\\2x^{2}-4x+1=0\\\Delta=16-4*2*1=8\\x_{1}=\frac{4-2\sqrt{2} }{4} =1-\frac{\sqrt{2} }{2} \\x_{1}=\frac{4+2\sqrt{2} }{4} =1+\frac{\sqrt{2} }{2} \notin D[/tex]
b)
[tex]1+\frac{x}{x+3} +(\frac{x}{x+3})^{2}+...=x^{2}+\frac{1}{3}[/tex]
Stąd:
[tex]a_{1}=1\\q=\frac{x}{x+3}[/tex]
Warunek zbieżności to [tex]|q|<1[/tex], więc:
[tex]|\frac{x}{x+3}|<1\\ \frac{x}{x+3}<1 \wedge \frac{x}{x+3}>-1\\\frac{x}{x+3}-1<0 \wedge \frac{x}{x+3}+1>0\\\frac{-3}{x+3}<0 \wedge \frac{2x+3}{x+3}>0\\-3(x+3)<0 \wedge (2x+3)(x+3)>0\\x+3>0 \wedge (2x+3)(x+3)>0\\x>-3 \wedge x \in (-\infty,-3) \cup (-\frac{3}{2},\infty) \\x \in (-\frac{3}{2},\infty)[/tex]
Suma:
[tex]S=\frac{a_{1}}{1-q}=\frac{1}{1-\frac{x}{x+3} } =\frac{1}{\frac{3}{x+3} } =\frac{x+3}{3}[/tex]
Zatem:
[tex]\frac{x+3}{3}=x^{2}+\frac{1}{3}\\x+3=3x^{2}+1\\3x^{2}-x-2=0\\\Delta=1-4*3*(-2)=25\\x_{1}=\frac{1-5}{6}=-\frac{2}{3}\\x_{2}=\frac{1+5}{6} =1[/tex]
c)
[tex]6(x-x^{2}+x^{3}-...)=\frac{1}{1+x} +(\frac{1}{1+x})^{2}+(\frac{1}{1+x})^{3}+...[/tex]
Lewa strona:
[tex]a_{1}=x\\q=-x[/tex]
Warunek zbieżności to [tex]|q|<1[/tex], więc:
[tex]|-x|<1\\|x|<1\\x<1 \wedge x>-1\\x \in (-1,1)[/tex]
Suma:
[tex]S=\frac{a_{1}}{1-q} =\frac{x}{1+x}[/tex]
Prawa strona:
[tex]a_{1}=\frac{1}{1+x}\\q= \frac{1}{1+x}[/tex]
Warunek zbieżności to [tex]|q|<1[/tex], więc:
[tex]|\frac{1}{1+x}|<1\\ \frac{1}{1+x}<1 \wedge \frac{1}{1+x}>-1\\\frac{1}{1+x}-1<0 \wedge \frac{1}{1+x}+1>0\\\frac{-x}{1+x} <0 \wedge \frac{2+x}{1+x}>0\\-x(1+x)<0 \wedge (2+x)(1+x)>0\\x \in (-\infty,-1) \cup (0, \infty) \wedge x \in (-\infty,-2) \cup (-1,\infty)\\x \in (-\infty,-2) \cup (0,\infty)[/tex]
Zatem ostatecznie dziedziną równania jest:
[tex]x \in (0,1)[/tex]
Suma:
[tex]S=\frac{a_{1}}{1-q}=\frac{\frac{1}{1+x} }{1-\frac{1}{1+x} } =\frac{\frac{1}{1+x}}{\frac{x}{1+x} } =\frac{1}{x}[/tex]
Zatem:
[tex]6*\frac{x}{1+x} =\frac{1}{x}\\6x^{2}=1+x\\6x^{2}-x-1=0\\\Delta=1-4*6*(-1)=25\\x_{1}=\frac{1-5}{12}=-\frac{1}{3} \notin D\\x_{2}=\frac{1+5}{12}=\frac{1}{2}[/tex]
d)
[tex]cosx-cos^{2}x+cos^{3}x-...=-1[/tex]
Stąd:
[tex]a_{1}=cosx\\q=-cosx[/tex]
Warunek zbieżności to [tex]|q|<1[/tex], więc:
[tex]|-cosx|<1\\|cosx|<1\\cosx<1 \wedge cosx>-1\\x \in (2k\pi , 2\pi +2k\pi ) \wedge x\in(-\pi +2k\pi ,\pi +2k\pi )\\x \neq k\pi[/tex]
Suma:
[tex]S=\frac{a_{1}}{1-q}=\frac{cosx}{1+cosx}[/tex]
Zatem:
[tex]\frac{cosx}{1+cosx}=-1\\cosx=-1-cosx\\2cosx=-1\\cosx=-\frac{1}{2} \\x=\frac{2\pi}{3}+2k\pi \vee x=-\frac{2\pi}{3}+2k\pi[/tex]
Zadanie 52.
a)
[tex]-2+\frac{4}{x}-\frac{8}{x^{2}} +...<x^{2}+x[/tex]
Stąd:
[tex]a_{1}=-2\\q=-\frac{2}{x}[/tex]
Warunek zbieżności to [tex]|q|<1[/tex], więc:
[tex]|-\frac{2}{x}|<1\\|\frac{2}{x}|<1\\ \frac{2}{x}<1 \wedge \frac{2}{x}>-1\\\frac{2}{x}-1<0 \wedge \frac{2}{x}+1>0\\\frac{2-x}{x} <0 \wedge \frac{2+x}{x} >0\\x(2-x)<0 \wedge x(2+x)>0\\x\in (-\infty,0) \cup (2,\infty) \wedge x \in (-\infty,-2) \cup (0,\infty)\\x \in (-\infty,-2) \cup (2,\infty)[/tex]
Suma:
[tex]S=\frac{a_{1}}{1-q}=\frac{-2}{1+\frac{2}{x} } =\frac{-2}{\frac{x+2}{x} } =\frac{-2x}{x+2}[/tex]
Zatem:
[tex]\frac{-2x}{x+2} <x^{2}+x\\x^{2}+\frac{2x}{x+2} +x>0\\\frac{x^{2}(x+2)+2x+x(x+2)}{x+2}>0\\\frac{x^{3}+2x^{2}+2x+x^{2}+2x}{x+2}>0\\\frac{x^{3}+3x^{2}+4x}{(x+2)} >0\\x(x+2)(x^{2}+3x+4)>0\\x \in (-\infty,-2) \cup (0,\infty)[/tex]
Uwzględniając dziedzinę:
[tex]x \in (-\infty,-2) \cup (2,\infty)[/tex]
b)
[tex]sin^{2}x+sin^{3}x+sin^{4}x+...\geq \frac{1}{2}\\x \in (0,\pi )[/tex]
Stąd:
[tex]a_{1}=sin^{2}x\\q=sinx[/tex]
Warunek zbieżności to [tex]|q|<1[/tex], więc:
[tex]|sinx|<1\\sinx <1 \wedge sinx>-1\\x \in (-\frac{3\pi}{2}+2k\pi,\frac{\pi}{2}+2k\pi ) \wedge x \in (-\frac{\pi }{2}+2k\pi ,\frac{3\pi }{2}+2k\pi )\\x\neq \frac{k\pi}{2} \\x\neq \frac{\pi }{2}[/tex]
Suma:
[tex]S=\frac{a_{1}}{1-q}=\frac{sin^{2}x}{1-sinx}[/tex]
Zatem:
[tex]\frac{sin^{2}}{1-sinx} \geq \frac{1}{2}\\t=sinx, t \in <-1,1>\\\frac{2t^{2}}{1-t} \geq 1\\\frac{2t^{2}+t-1}{1-t}\geq 0\\(1-t)(2t^{2}+t-1)\geq 0\\(1-t)(t+1)(t-\frac{1}{2})\geq 0\\t =-1 \wedge t \in \ <\frac{1}{2} ,1>\\sinx=-1 \notin D \wedge sinx \in<\frac{1}{2},1> \\sinx\geq \frac{1}{2} \wedge sinx\leq 1\\x \in <\frac{\pi }{6}+2k\pi , \frac{5\pi }{6}+2k\pi > \wedge \ x \in \mathbb{R}[/tex]
W podanym przedziale mamy zatem:
[tex]x \in <\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{2} )\cup(\frac{\pi}{2},\frac{5\pi }{6}>[/tex]
Zadanie 53.
[tex]\lim_{n \to \infty} (tgx+tg^{3}x+tg^{5}x+...+tg^{2n-1}x)=\frac{\sqrt{3} }{2}[/tex]
Stąd:
[tex]a_{1}=tgx\\q=tg^{2}x[/tex]
Warunek zbieżności to [tex]|q|<1[/tex], więc:
[tex]|tg^{2}x|<1\\tg^{2}x<1 \wedge tg^{2}x>-1\\t=tgx\\(t-1)(t+1)<0 \wedge x\neq \frac{k\pi }{2} \\t \in (-1,1)\\tgx \in (-1,1)\\x \in (-\frac{\pi }{4}+k\pi , \frac{\pi}{4}+k\pi )[/tex]
Suma:
[tex]S=\frac{a_{1}}{1-q}=\frac{tgx}{1-tg^{2}x}[/tex]
Zatem:
[tex]\frac{tgx}{1-tg^{2}x} =\frac{\sqrt{3} }{2} \\2tgx=\sqrt{3} -\sqrt{3} tg^{2}x\\\sqrt{3} tg^{2}x+2tgx-\sqrt{3} =0\\t=tgx\\\sqrt{3}t^{2}+2t-\sqrt{3} =0\\\Delta=4-4*\sqrt{3}*(-\sqrt{3})=16\\t_{1}=\frac{-2+4}{2\sqrt{3} } =\frac{1}{\sqrt{3} }=\frac{\sqrt{3} }{3} \\t_{2}=\frac{-2-4}{2\sqrt{3} } =-\frac{3}{\sqrt{3} } =-\sqrt{3} \\tgx=\frac{\sqrt{3} }{3} \vee tgx=-\sqrt{3}\\x=\frac{\pi }{6}+k\pi \vee x=-\frac{\pi}{3} +k\pi \notin D[/tex]
Zadanie 54.
a)
[tex]f(x)=2x+2x^{2}+2x^{3}+...[/tex]
Stąd:
[tex]a_{1}=2x\\q=x[/tex]
Warunek zbieżności to [tex]|q|<1[/tex], więc:
[tex]|x|<1\\x<1 \wedge x>-1\\x \in (-1,1)[/tex]
Suma:
[tex]S=\frac{a_{1}}{1-q} =\frac{2x}{1-x} =-\frac{2x}{x-1} =-\frac{2(x-1)+2}{x-1}=\frac{-2}{x-1}-2[/tex]
Wykres funkcji w załączniku.
Zbiorem wartości funkcji jest przedział [tex](-1,\infty)[/tex].
b)
[tex]f(x)=-1+\frac{1}{x}-\frac{1}{x^{2}}+...[/tex]
Stąd:
[tex]a_{1}=-1\\q=-\frac{1}{x}[/tex]
Warunek zbieżności to [tex]|q|<1[/tex], więc:
[tex]|-\frac{1}{x} |<1\\|\frac{1}{x} |<1\\\frac{1}{x} <1 \wedge \frac{1}{x} >-1\\\frac{1}{x} -1<0 \wedge \frac{1}{x} +1>0\\\frac{1-x}{x} <0 \wedge \frac{1+x}{x}>0\\x(1-x)<0 \wedge x(1+x)>0\\x \in (-\infty,0) \cup (1,\infty) \wedge x \in (-\infty,-1)\cup(0,\infty)\\x \in (-\infty,-1) \cup (1,\infty)[/tex]
Suma:
[tex]S=\frac{a_{1}}{1-q}=\frac{-1}{1+\frac{1}{x} } =\frac{-1}{\frac{x+1}{x} }=-\frac{x}{x+1} =-\frac{(x+1)-1}{x+1}=\frac{1}{x+1} -1[/tex]
Wykres funkcji w załączniku.
Zbiorem wartości funkcji jest przedział [tex](-\infty,-1)\cup(-1,-\frac{1}{2})[/tex].
