Odpowiedź:
zad 1
α - kat wycinka kołowego = 120°
r - promień wycinka kołowego = 6 [j]
Pw - pole wycinka = παr²/360° = π * 120° * 6²/360° = 36π/3 =
= 12π [j²]
[j] - znaczy właściwa jednostka
Pb - pole powierzchni bocznej stożka = Pw = 12π [j²]
ł - długość łuku wycinka kołowego = παr/180° = π * 120° * 6/180° =
= 6π * 2/3 = 2π * 2 = 4π [j]
Obwód podstawy stożka = ł = 4π
2πr₁ = 4π
r₁ - promień podstawy stożka = 4π/2π = 2 [j]
Pp - pole podstawy stożka = πr² = π * 2² = 4π [j²]
Pc - pole całkowite stożka = Pp + Pb = 4π + 12π = 16π [j²
V - objętość stożka = 1/3 * Pp * H
H - wysokość stożka = √(r² - r₁²) = √(6² - 2²) = √(36 - 4) = √32 =
= √(16 * 2) = 4√2 [j]
V = 1/3 * 4π * 4√2 = 16π√2/3 [j³]
zad 2
d - przekątna = 12 [j]
α - kąt nachylenia przekątnej = 60°
H - wysokość walca = ?
H/d = sinα = sin60° = √3/2
H = d * √3/2 = 12 * √3/2 = 6√3 [j]
l - obwód podstawy walca = ?
l/d = cosα = cos60° = 1/2
l = d * 1/2 = 12 * 1/2 = 6 [j]
2πr = l = 6
r - promień podstawy walca = 6/(2π) = 3/π [j]
Pp - pole podstawy walca = πr² = π * (3/π)² = 9π/π² = 9/π [j²]
Pb - pole boczne walca = l * H = 6 * 6√3 = 36√3 [j²]
Pc - pole całkowite walca = 2 * Pp + Pb = 2 * 9/π + 36√3 =
= 18/π + 36√3 = (18 + 36π√3)/π = 18/π(1 + 2√3) [j²]
V - objętość walca = Pp * H = 9/π * 6√3 = 54√3/π [j³]
zad 3
r - promień kuli = 6 cm
V - objętość kuli = 4/3πr³ = 4/3 * π * 6³ cm³ = 4/3π * 216 cm³ =
= 4π * 72 cm³ = 288π cm³
α - kąt nachylenia tworzącej stożka = 45°
Ponieważ kąt nachylenia tworzącej ma miarę 45° więc promień podstawy stożka jest równy jego wysokości
V₁ - objętość stożka = 1/3 * Pp * H
r₁ - promień podstawy stożka = H
V₁ = 1/3 * πr₁² * r₁ = 1/3 * πr³
3V₁ = πr₁³
r₁³ = 3V₁/π
Ponieważ V = V₁ = 288π cm³ więc:
r₁³ = 3 * 288π/π cm³ = 288 cm³
r₁ = ∛288 cm = ∛(8 * 36) cm = 2∛36 cm
zad 4
d - przekątna przekroju = 8 [j]
d = a√2
a√2 = 8 [j]
a - bok przekroju = 8/√2 = 8√2/2 = 4√2 [j]
H - wysokość walca = a = 4√2 [j]
d - średnica podstawy walca = a = 4√2 [j]
Pp - pole podstawy = πd²/4 = π * (4√2)²/4 = π * 16 * 2/4 = π * 8 = 8π [j²]
l - obwód podstawy = πd = π * 4√2 = 4π√2 [j]
Pb - pole boczne = l * H = 4π√2 * 4√2 = 16π * 2 = 32π [j²]
Pc - pole całkowite = 2 * Pp + Pb = 2 * 8π + 32π = 16π + 32π = 48π [j²]
V - objętość walca = Pp * H = 8π * 4√2 = 32π√2 [j³]
