Rozwiązanie:
[tex]x^{2}+(2m+2)x+5m^{3}-m[/tex]
a)
Trójmian będzie miał dwa różne pierwiastki, gdy [tex]\Delta>0[/tex] :
[tex]\Delta=4m^{2}+8m+4-4(5m^{3}-m)=4m^{2}+8m+4-20m^{3}+4m=-20m^{3}+4m^{2}+12m+4\\-20m^{3}+4m^{2}+12m+4>0\\-5m^{3}+m^{2}+3m+1>0\\W(1)=-5+1+3+1=0\\(m-1)(-5m^{2}-4m-1)>0\\(m-1)(5m^{2}+4m+1)<0\\\Delta_{m}=16-4*5*1<0\\m \in (-\infty,1)[/tex]
b)
Dwa różne pierwiastki już mamy, dlatego zajmiemy się drugim warunkiem, czyli:
[tex]f(-2)<0\\f(0)<0[/tex]
[tex]f(-2)=4-2(2m+2)+5m^{3}-m=4-4m-4+5m^{3}-m=5m^{3}-5m<0\\m^{3}-m<0\\m(m^{2}-1)<0\\m(m-1)(m+1)<0\\m \in (-\infty,-1) \cup (0,1)[/tex]
[tex]f(0)=5m^{3}-m<0\\m(5m^{2}-1)<0\\m(\sqrt{5}m-1)(\sqrt{5}m+1)<0\\m \in (-\infty,- \frac{\sqrt{5} }{5}) \cup (0,\frac{\sqrt{5} }{5})[/tex]
Uwzględniamy wszystkie warunki i dostajemy:
[tex]m \in (-\infty,-1) \cup (0,\frac{\sqrt{5} }{5} )[/tex]
