Rozwiązanie:
Przykładowe rozwiązanie, niekoniecznie najprostsze i najszybsze:
Na początek wyznaczymy równania prostych:
1) [tex]BP[/tex] :
[tex]a=\frac{5-1}{-2-8} =-\frac{2}{5} \\y=-\frac{2}{5}x+b\\B=(8,1)\\1= -\frac{16}{5} +b\\b=\frac{21}{5}\\y=-\frac{2}{5}x+\frac{21}{5}[/tex]
2) [tex]DP[/tex] :
[tex]a=\frac{5-0}{-2+4} =\frac{5}{2} \\y=\frac{5}{2}x+b\\0=-10+b\\b=10\\y= \frac{5}{2}x+10[/tex]
Już wiemy, że punkt [tex]C[/tex] leży na pierwszej z tych prostych, czyli możemy zapisać, że:
[tex]C=(x,-\frac{2}{5}x+\frac{21}{5})[/tex]
a punkt [tex]A[/tex] leży na drugiej z nich, więc możemy zapisać:
[tex]A=(x,\frac{5}{2}x+10)[/tex]
Teraz wykorzystamy to, że [tex]|DP|=|CP|[/tex], gdyż trapez jest równoramienny.
[tex]|DP|=\sqrt{(-2+4)^{2}+(5-0)^{2}} =\sqrt{4+25} =\sqrt{29}[/tex]
Teraz szukamy punkty, który leży na prostej [tex]BP[/tex] i jest odległy od punktu [tex]P[/tex] o [tex]\sqrt{29}[/tex], czyli punktu [tex]C[/tex]:
[tex]|CP|=\sqrt{(-2-x)^{2}+(5+\frac{2}{5}x-\frac{21}{5})^{2} } =\sqrt{29} \\\sqrt{(-2-x)^{2}+(\frac{2}{5}x+\frac{4}{5})^{2} } =\sqrt{29}\\x^{2}+4x+4+\frac{4}{25}x^{2}+\frac{16}{25} x+\frac{16}{25} =29\\25x^{2}+100x+100+4x^{2}+16x+16-725=0\\29x^{2}+116x-609=0\\x^{2}+4x-21=0\\\Delta=16-4*1*(-21)=100\\x_{1}=\frac{-4-10}{2} =-7\\x_{2}=\frac{-4+10}{2}=3[/tex]
Pierwsze rozwiązanie odrzucamy ze względu na geometrię trapezu, więc:
[tex]C=(3,-\frac{2}{5}*3+\frac{21}{5})=(3,3)[/tex]
Teraz wyznaczymy prostą [tex]DC[/tex]:
[tex]a=\frac{3-0}{3+4} =\frac{3}{7}\\y=\frac{3}{7}x+b\\C=(3,3)\\3=\frac{9}{7}+b\\b=\frac{12}{7}\\y=\frac{3}{7}x+\frac{12}{7}[/tex]
Teraz wyznaczamy prostą równoległą do tej prostej przechodzącą przez punkt [tex]B[/tex] :
[tex]y=\frac{3}{7} x+b\\B=(8,1)\\1=\frac{24}{7}+b\\b= -\frac{17}{7}\\y=\frac{3}{7}x-\frac{17}{7}[/tex]
Punkt [tex]A[/tex] to przecięcie tych prostych, więc:
[tex]\frac{3}{7}x-\frac{17}{7}=\frac{5}{2}x+10\\6x-34=35x+140\\29x=-174\\x=-6\\y=\frac{5}{2} *(-6)+10=-15+10=-5\\A=(-6,-5)[/tex]
