Odpowiedź:
zad 1
an = 2n - n²
a₁ = 2 * 1 - 1² = 2 - 1 = 1
a₂ = 2 * 2 - 2² = 4 - 4 = 0
a₃ = 2 * 3 - 3² = 6 - 9 = - 3
zad 2
Ponieważ wzór jest niekompletny więc rozpatruje 2 przypadki
1.
an = 2n + 1 dla n ≥ 1
a(n + 1) = 2(n + 1) + 1 = 2n + 2 + 1 = 2n + 3
a(n + 1) - an = 2n + 3 - 2n - 1 = n + 2 > 0 więc ciąg jest rosnący
2.
an = 2n - 1
a(n + 1) = 2(n + 1) - 1 = 2n + 2 - 1 = 2n + 1
a(n + 1) - an = 2n + 1 - 2n + 1 = 2 > 0 więc ciąg jest rosnący
zad 3
a₂₄ = 50 , r = 2
a₂₄ = a₁ + 23r = a₁ + 23 * 2 = a₁ + 46
a₁ + 46 = 50
a₁ = 50 - 46 = 4
zad 4
a₃ = a₁ + 2r = 16
a₇ = a₁ + 6r = 8
układ równań
a₁ + 2r = 16
a₁ + 6r = 8
odejmujemy równania
a₁ - a₁ + 2r - 6r = 16 - 8
- 4r = 8
4r = - 8
r = - 8/4 = - 2
a₁ + 2r = 16
a₁ + 2 * (- 2) = 16
a₁ - 4 = 16
a₁ = 16 + 4 = 20
an = a₁ + (n - 1) * r = 20 + (n - 1) * (- 2) = 20 - 2n + 2 = 22 - 2n = - 2n + 22
Odp: a₁ = 20 , r = - 2 , an = - 2n + 22
zad 5
a₁ = 100
an = 999
r = 1
an = a₁ + (n - 1) * r = 100 + (n - 1) * 1 = 100 + n - 1
999 = 100 + n - 1 = 99 + n
n = 999 - 99 = 900
a₉₀₀= 999
S₉₀₀ = (a₁ + a₉₀₀) * 900/2 = (100 + 999) * 900/2 = 1099 * 450 = 494550
zad 6
a₅ = a₁q⁴ = 729
q = 3
a₁q⁴ = 729
a₁* 3⁴ = 729
81a₁ = 729
a₁ = 729 : 81 = 9
zad 7
a₁ = 6 , q = 3
a₂ = a₁q = 6 * 3 = 18
a₃ = a₂q = 18 * 3 = 54
a₄ = a₃q = 54 * 3 = 162
a₁ + a₂ + a₃ + a₄ = 6 + 18 + 54 + 162 = 240
zad 8
a₁ = x
a₂ = x + 3
a₃ = 3x + 3
a₂² = a₁ * a₃
(x + 3)² = x(3x + 3)
x² + 6x + 9 = 3x² + 3x
x² - 3x² + 6x - 3x + 9 = 0
- 2x² + 3x + 9 = 0
a = - 2 , b = 3 , c = 9
Δ = b² - 4ac = 3² - 4 * (- 2) * 9 = 9 + 72 = 81
√Δ = √81 = 9
x₁ = (- b - √Δ)/2a = (- 3 - 9)/(- 4) = 12/4 = 3
x₂ = (- b + √Δ)/2a = (- 3 + 9)/(- 4) = - 6/4 = - 1 2/4 = - 1 1/2 = - 1,5
odp: ciąg jest geometryczny dla x = 3 lub x = - 1,5
zad 9
Sn = n² - n dla n ≥ 1
S₂ = 2² - 2 = 4 - 2 = 2
S₃ = 3² - 3 = 9 - 3 = 6
S₄ = 4² - 4 = 16 - 4 = 12
S₅ = 5² - 5 = 25 - 5 = 20
a₁ + a₂ = 2
a₁ + a₂ + a₃ = 6
2 + a₃ = 6
a₃ = 6 - 2 = 4
a₁ + a₂ + a₃ + a₄ = 12
2 + 4 + a₄ = 12
6 + a₄ = 12
a₄ = 12 - 6 = 6
a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + a₅ = 20
2 + 4 + 6 + a₅ = 20
12 + a₅ = 20
a₅ = 20 - 12 = 8
a₅ - a₄ = a₄ - a₃
8 - 6 = 6 - 4
2 = 2 więc ciąg jest arytmetyczny o różnicy r = 2
a₃ = a₁ + (3 - 1) * 2 = a₁ + 2 * 2 = a₁ + 4
4 = a₁ + 4
a₁ = 4 - 4 = 0
a₂ = a₁ + r = 0 + 2 = 2
Odp: a₂ = 2
