Rozwiązanie:
[tex]x^{2}-4x+1-3m=0\\x^{2}-4x+1=3m[/tex]
Musimy narysować wykres funkcji z lewej strony. Przekształćmy trójmian do postaci kanonicznej:
[tex]p=-\frac{b}{2a}=\frac{4}{2}=2\\q=f(p)=f(2)=4-8+1=-3[/tex]
Zatem:
[tex](x-2)^{2}-3=3m[/tex]
Taki wykres już dość łatwo narysować (wykres w załączniku). Teraz na potrzeby zadania wprowadźmy sobie prostą [tex]y=k[/tex], gdzie [tex]k=3m[/tex]. Z wykresu odczytujemy, że dla [tex]k \in (-\infty,-3)[/tex] mamy zero rozwiązań. Dla [tex]k=-3[/tex] mamy jedno rozwiązanie i dla pozostałych [tex]k[/tex], czyli dla [tex]k \in (-3,\infty)[/tex] mamy dwa rozwiązania. Zatem:
1) gdy [tex]3m \in (-\infty,-3)[/tex] to mamy zero rozwiązań, czyli gdy:
[tex]3m<-3\\m<-1[/tex]
2) gdy [tex]3m =-3[/tex] to mamy jedno rozwiązanie, czyli gdy:
[tex]m=-1[/tex]
3) gdy [tex]3m \in (-3,\infty)[/tex] to mamy dwa rozwiązania, czyli gdy:
[tex]3m>-3\\m>-1[/tex]
