Rozwiązanie:
Prosta:
[tex]y=-x+2[/tex]
Okrąg:
[tex]x^{2}-2x+y^{2}+6y-10=0[/tex]
Zaczniemy od wyznaczenia środka i promienia okręgu. Jak to robimy? Otóż w zadaniu mamy daną postać okręgu:
[tex]x^{2}+y^{2}-2ax-2by+c=0[/tex]
Wówczas środek okręgu ma współrzędne [tex]S=(a,b)[/tex], a promień wyraża się wzorem [tex]r=\sqrt{a^{2}+b^{2}-c}[/tex]. W naszym przypadku:
[tex]-2a=-2 \wedge -2b=6\\a=1 \wedge b=-3[/tex]
Zatem [tex]S=(1,-3)[/tex]. Obliczamy promień:
[tex]r=\sqrt{1+9-(-10)} =\sqrt{20} =2\sqrt{5}[/tex]
Teraz zastanówmy się kiedy prosta będzie styczna do okręgu? Będzie tak, gdy odległość środka okręgu od tej prostej będzie równa promieniowi okręgu (czyli prosta będzie miała dokładnie jeden punkt wspólny z okręgiem). Odległość punktu od prostej oblicza się ze wzoru:
[tex]d=\frac{|Ax_{0}+By_{0}+C|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}} }[/tex]
Gdzie [tex]Ax+By+C=0[/tex] jest równanie prostej w postaci ogólnej, a punkt ma współrzędne [tex](x_{0},y_{0})[/tex]. U nas:
[tex]y=-x+2\\x+y-2=0[/tex]
więc:
[tex]A=1\\B=1\\C=-2[/tex]
Ponadto:
[tex]x_{0}=1\\y_{0}=-3[/tex]
Podstawiamy dane i obliczamy szukaną odległość:
[tex]d=\frac{|1-3-2|}{\sqrt{1+1} } =\frac{4}{\sqrt{2} } =\frac{4\sqrt{2} }{2} =2\sqrt{2}\neq r[/tex]
Zatem ta prosta nie jest styczna do tego okręgu.
