Rozwiązanie:
Niech podstawa równoległoboku (dłuższa) wynosi [tex]a[/tex] oraz niech wysokość opuszczona na tę podstawę ma długość [tex]h[/tex]. Wówczas pole równoległoboku jest równe:
[tex]P_{ABCD}=ah[/tex]
Z zadania wynika, że: [tex]|EB|=3|AE|[/tex], zatem [tex]|AE|=\frac{1}{4}|AB|=\frac{1}{4}a \\[/tex]
Wysokość trójkąta [tex]AEF[/tex] wynosi oczywiście [tex]h[/tex], więc jego pole wynosi:
[tex]P_{AEF}=\frac{1}{2}*\frac{1}{4}a*h=\frac{1}{8}ah[/tex]
Stąd wniosek, że pierwsze zdanie jest prawdziwe.
Pole czworokąta [tex]AEFD[/tex] to nic innego jak suma pól trójkątów [tex]AEF[/tex] oraz [tex]ADF[/tex]. Pole tego pierwszego już znamy, dlatego musimy obliczyć jeszcze pole drugiego z nich. Weźmy sobie za podstawę odcinek [tex]|DF|[/tex]. Ma on długość [tex]\frac{1}{2}a[/tex]. Zatem pole trójkąta [tex]ADF[/tex] jest równe:
[tex]P_{ADF}=\frac{1}{2}*\frac{1}{2}a*h=\frac{1}{4}ah[/tex]
Zatem pole czworokąta [tex]AEFD[/tex] jest równe [tex]\frac{1}{8}ah+\frac{1}{4}ah=\frac{3}{8}ah[/tex]
Stąd wniosek, że zdanie drugie jest fałszywe.
