Odpowiedź :
Odpowiedź:
a = -36, b = 144, c = 324, d = 504
Szczegółowe wyjaśnienie:
Ponieważ a, b, c, d stanowią rosnący ciąg arytmetyczny to możemy zapisać:
b = a + r, c = a + 2r, d = a + 3r, gdzie r stanowi różnicę ciągu arytmetycznego.
Ponieważ ciąg jest rosnący to r > 0
Z warunku zadania:
[tex]d^{2}[/tex] = 2*([tex]a^{2} + b^{2} + c^{2}[/tex]) czyli
(a + 3r)² = 2 * (a² + (a + r)² + (a + 2r)²)
a² + 6ar + 9r² = 2(a² + a² + 2ar + r² + a² + 4ar + 4r²)
a² + 6ar + 9r² = 2(3a² + 6ar + 5r²)
a² + 6ar + 9r² = 6a² + 12ar + 10r²
Po uporządkowaniu wyrazów:
5a² + 6ar + r² = 0 (1)
Z własności ciągu geometrycznego a₂/a₁ = a₃/a₂
czyli:
[tex]\frac{b}{a + 100} = \frac{c}{b}[/tex] => => [tex]\frac{a+r}{a+100} = \frac{a + 2r}{a+r}[/tex] => (a+r)² = (a + 2r)*(a + 100)
a² + 2ar + r² = a² + 2ar + 100*(a + 2r)
r² = 100a + 200r
a = [tex]\frac{r^{2} - 200r}{100}[/tex] = [tex]\frac{r}{100}[/tex] * ( r - 200)
Podstawiamy do (1)
5 ([tex]\frac{r}{100}[/tex] * ( r - 200))² + 6*([tex]\frac{r}{100}[/tex] * ( r - 200))* r + r² = 0 // * 10000
5 * r² * (r - 200)² + 600 (r - 200) + 10000r² = 0 // r > 0 dzielimy przez r²
5*(r -200)² + 600* (r - 200) + 10000 = 0 //5
(r-200)² + 120(r-200) + 2000 = 0
Podstawmy
t = r - 200
t² + 120t + 2000 = 0
Δ = 14400 - 4 * 2000 = 6400; [tex]\sqrt{d} = 80[/tex]
t₁ = [tex]\frac{-120 - 80}{2}[/tex] = -100 => r₁ = t +200 = 100
t₂ = [tex]\frac{-120 + 80}{2}[/tex] = -20 => r₂ = t + 200 = 180
r₁ = 100 => a₁ = 100/100 * (100 - 200) = -100
r₂ = 180 => a₁ = 180/100 * (180 - 200) = - 36
Ale ciąg arytmetyczny -100, 0, 200, 300 - drugi wyraz jest 0 więc ciąg geometryczny byłby 0, 0, 200 co nie spełnia warunków zadania
Drugi ciąg, -36, 144, 324, 504 i ciąg geometryczny 64, 144, 324 i to jest szukany ciąg