Rozwiązanie:
Niech [tex]\angle ADC=\alpha[/tex]. Wtedy [tex]\angle CDB = 180-\alpha[/tex]. Ponadto [tex]|AD|=|DB|=10[/tex]. Niech ponadto [tex]|AC|=x, |BC|=y[/tex]. Wówczas z twierdzenia cosinusów w trójkącie:
1) [tex]ACD[/tex] :
[tex]x^{2}=10^{2}+6^{2}-2*10*6*\frac{1}{8}\\x^{2}=100+36-15=121\\x=11[/tex]
2) [tex]CBD[/tex] :
[tex]y^{2}=6^{2}+10^{2}-2*6*10*(-\frac{1}{8})\\y^{2}=36+100+15=151\\y=\sqrt{151}[/tex]
Z jedynki trygonometrycznej:
[tex]sin^{2}\alpha =1-\frac{1}{64} =\frac{63}{64} \\sin\alpha =\frac{3\sqrt{7} }{8}[/tex]
Obliczamy pole trójkąta:
[tex]P=2*\frac{1}{2}*10*6*\frac{3\sqrt{7} }{8} =\frac{45\sqrt{7} }{2}[/tex]
Obliczamy promień okręgu wpisanego w trójkąt [tex]ADC[/tex]:
Najpierw obliczamy połowę obwodu tego trójkąta:
[tex]p=\frac{11+6+10}{2} =\frac{27}{2}[/tex]
Pole tego trójkąta jest równe połowie pola trójkąta [tex]ABC[/tex], zatem wynosi [tex]\frac{45\sqrt{7} }{4}[/tex]. Teraz możemy obliczyć szukany promień:
[tex]P=rp\\r=\frac{P}{p}=\frac{45\sqrt{7} }{4} *\frac{2}{27}=\frac{5\sqrt{7} }{6}[/tex]
Pozostało wyznaczyć promień okręgu opisanego na trójkącie [tex]DBC[/tex]. Zrobimy to przy pomocy twierdzenia sinusów:
[tex]\frac{\sqrt{151} }{sin(180-\alpha )} =2R\\\frac{\sqrt{151} }{\frac{3\sqrt{7} }{8} }=2R\\R=\frac{4\sqrt{1057} }{21}[/tex]
