Odpowiedź:
Do uzasadnienia podobieństwa trójkątów wykorzystamy cechę kąt-kąt-kąt (trójkąty są podobne, jeżeli mają wszystkie trzy kąty takie same). Oznaczmy [tex]|\measuredangle BAC|= \alpha[/tex] i [tex]|\measuredangle ABC| = \beta[/tex]. Oczywiście, [tex]|\measuredangle ACB| = 90^{\circ}[/tex]. Zauważmy, że [tex]90^{\circ} + \alpha + \beta = 180^{\circ}[/tex], ponieważ suma miar kątów w trójkącie wynosi [tex]180^{\circ}[/tex].
Spójrzmy na trójkąt ADC. Ma kąt prosty ([tex]|\measuredangle ADC| = 90^{\circ}[/tex]) i kąt [tex]\alpha[/tex] przy wierzchołku A. Stąd i z powyższej obserwacji wynika, że kąt [tex]ACD[/tex] ma miarę [tex]\beta[/tex]. Zatem spełniona jest cecha kąt-kąt-kąt, [tex]\triangle ADC \sim \triangle ABC[/tex].
Zajmijmy się trójkątem BCD. Ma on kąt prosty ([tex]|\measuredangle BDC| = 90^{\circ}[/tex]) oraz kąt [tex]\beta[/tex] przy wierzchołku B. Analogicznie jak wyżej, ponieważ [tex]|\measuredangle BDC| + |\measuredangle BCD| + |\measuredangle CBD| = 180^{\circ}[/tex] oraz [tex]|\measuredangle BDC| = 90^{\circ}[/tex] i [tex]|\measuredangle CBD| = \beta[/tex], to [tex]|\measuredangle BCD| = 180^{\circ} - 90^{\circ} - \beta = \alpha[/tex]. Zatem również w tym trójkącie mamy kąty [tex]90^{\circ}, \alpha, \beta[/tex]. Z cechy kąt-kąt-kąt, [tex]\triangle DBC \sim \triangle ADC \sim \triangle ABC[/tex].
W punkcie b), zaznaczmy na rysunku [tex]|AD|=9[/tex] i [tex]|DB|=4[/tex] oraz oznaczmy [tex]|CD|=x[/tex]. Obliczymy x, wykorzystując udowodnione podobieństwo.
W [tex]\triangle ACD[/tex] mamy przyprostokątną przy kącie [tex]\alpha[/tex] o długości 9 i przyprostokątną przy kącie [tex]\beta[/tex] o długości x. W [tex]\triangle DBC[/tex] mamy przyprostokątną przy kącie [tex]\alpha[/tex] o długości x i przyprostokątną przy kącie [tex]\beta[/tex] o długości 4. W trójkątach podobnych odpowiednie boki pozostają w takich samych stosunkach, to znaczy
[tex]\frac{9}{x} = \frac{x}{4}[/tex]
Mnożymy na krzyż, otrzymując
[tex]x^2 = 9 \cdot 4 = 36[/tex]
Wiemy, że [tex]x>0[/tex], zatem
[tex]x=6=|CD|[/tex].
