Wikiwiki1212viz
Rozwiązane

Wyznacz zbiór wartości funkcji:

Wyznacz Zbiór Wartości Funkcji class=

Odpowiedź :

Hankaviz

[tex]f(x)=4 sin(x) cos(x)-2cos(2x)-\sqrt2=2\cdot2sin(x) cos(x)-2cos(2x)-\sqrt2=[/tex]

[tex]2sin(2x)-2cos(2x)-\sqrt2=2(sin(2x)-cos(2x))-\sqrt2=[/tex]

[tex]2(sin(2x)-sin(\frac{\pi}{2}-2x))-\sqrt2=[/tex]

[tex]2\cdot 2cos\frac{2x+\frac{\pi}{2}-2x}{2}sin\frac{2x-\frac{\pi}{2}+2x}{2}-\sqrt2=[/tex]

[tex]2\cdot 2cos \frac{\pi}{4}sin\frac{4x-\frac{\pi}{2}}{2}-\sqrt2=[/tex]

[tex]2\cdot 2\cdot\frac{\sqrt2}{2}sin(2x-\frac{\pi }{4})-\sqrt2=-2\sqrt2sin(\frac{\pi }{4}-2x)-\sqrt2[/tex]

---------------------

[tex]sin(\frac{\pi }{4}-2x)\in<-1;1>[/tex]

[tex]-2\sqrt2sin(\frac{\pi }{4}-2x)\in<-2\sqrt2;2\sqrt2>[/tex]

[tex]-2\sqrt2sin(\frac{\pi }{4}-2x)-\sqrt2\in<-3\sqrt2;\sqrt2>[/tex]

Louie314viz

Rozwiązanie:

[tex]f(x)=4sinxcosx-2cos2x-\sqrt{2}[/tex]

Spróbujmy przekształcić nieco tę funkcję:

[tex]f(x)=2sin2x-2cos2x-\sqrt{2} =2(sin2x-cos2x)-\sqrt{2} =2(sin2x-sin(\frac{\pi}{2}-2x))-\sqrt{2} =2(2cos\frac{2x+\frac{\pi}{2}-2x }{2} *sin\frac{2x-\frac{\pi}{2}+2x }{2} )-\sqrt{2} =4cos\frac{\pi}{4} * sin(2x-\frac{\pi}{4})-\sqrt{2} =2\sqrt{2} sin(2x-\frac{\pi}{4})-\sqrt{2} =\sqrt{2}(2sin (2x-\frac{\pi}{4})-1)[/tex]

Teraz będzie już łatwiej, gdyż zbiór wartości funkcji [tex]y=sin(2x-\frac{\pi}{4})[/tex] to przedział [tex]<-1,1>[/tex]. Zatem mamy kolejno:

[tex]-1\leq sin(2x-\frac{\pi}{4})\leq 1\\-2\leq 2sin(2x-\frac{\pi}{4})\leq 2\\-3\leq 2sin(2x-\frac{\pi}{4})-1\leq 1\\-3\sqrt{2}\leq \sqrt{2}(2sin(2x-\frac{\pi}{4})-1) \leq \sqrt{2}[/tex]

Zatem zbiór wartości tej funkcji to przedział [tex]<-3\sqrt{2},\sqrt{2}>[/tex].

Viz Inne Pytanie