Odpowiedź:
Szukając pierwiastków wielomianu, najlepiej zacząć od dzielników wyrazu wolnego, co wynika faktu, że jeżeli równanie ma pierwiastek całkowity, to jest on dzielnikiem wyrazu wolnego. Zauważmy też, że jeżeli [tex]x_0[/tex] jest pierwiastkiem wielomianu [tex]W[/tex], to [tex]W(x_0) = 0[/tex]. Przejdźmy do przykładów:
a) [tex]f(x) = x^4 - x^3 - 3x^2 + 5x - 2[/tex]
Wyrazem wolnym jest -2. Zacznijmy od najbardziej oczywistego dzielnika, czyli -2:
[tex]f(-2) = 16 - (-8) - 3 \cdot 4 + 5 \cdot (-2) -2 = 16 + 8 - 12 - 10 - 2 = 0[/tex]
Zatem -2 jest pierwiastkiem tego wielomianu. Oznacza to, że f(x) jest podzielny przez dwumian (x-(-2)) = (x+2). Przeprowadzamy dzielenie (najłatwiej schematem Hornera, nie mam tego jak pokazać) i otrzymujemy po podzieleniu [tex]x^3-3x^2+3x-1[/tex]
[Uwaga: pamiętamy, że pełna postać wielomianu f to [tex]f(x) = x^4-x^3-3x^2+5x-2=(x+2)(x^3-3x^2+3x-1)[/tex]]
Teraz szukamy miejsc zerowych tego nowego wielomianu. Wyrazem wolnym jest -1, więc zacznijmy od liczby -1. Po podstawieniu otrzymamy [tex](-1)^3-3\cdot (-1)^2+3\cdot (-1)-1 = -1 -3 -3 -1 = -8 \neq 0[/tex]. Zatem -1 nie jest miejscem zerowym tego wielomianu.
Spróbujmy z 1. Po podstawieniu mamy [tex]1^3 - 3\cdot 1^2 + 3\cdot 1 -1 = 1 -3 + 3 -1 = 0[/tex]. Zatem 1 jest pierwiastkiem tego wielomianu, czyli dwumian (x-1) dzieli ten wielomian. Jak wyżej, stosujemy schemat Hornera do przeprowadzenia dzielenia i otrzymujemy [tex]x^2-2x+1[/tex].
[Teraz wielomian f ma postać [tex]f(x) = (x+2)(x-1)(x^2-2x+1)[/tex].]
Szukamy pierwiastków wielomianu [tex]x^2-2x+1[/tex]. Zauważmy, że dla x=1 otrzymujemy [tex]1^2 - 2\cdot 1 + 1 = 1-2+1 = 0[/tex], więc 1 jest miejscem zerowym. Dzielimy [tex]x^2-2x+1[/tex] przez [tex]x-1[/tex] i otrzymujemy [tex](x-1)[/tex].
Zatem wielomian f ma ostatecznie postać [tex]f(x) = (x-1)(x-1)(x-1)(x+2) = (x-1)^3(x+2)[/tex].
Otrzymaliśmy rozkład na czynniki liniowe (typu x w pierwszej potędze plus/minus liczba), zatem kończymy obliczenia.
Pierwiastki wielomianu f to [tex]x=1[/tex] (trzykrotny) i [tex]x=-2[/tex] (jednokrotny).
b) [tex]w(x) = x^3-5x^2+7x-3[/tex]
Wyrazem wolnym jest tu -3. Jeżeli podstawimy dzielnik tego wyrazu, liczbę 3, to otrzymamy
[tex]w(3) = 3^3 - 5 \cdot 3^2 + 7\cdot 3 - 3 = 27 - 45 + 21 - 3 = 48 - 48 = 0[/tex].
Zatem 3 jest pierwiastkiem tego wielomianu. Dzielimy zatem przez dwumian (x-3) i otrzymujemy [tex]x^2-2x+1[/tex].
[[tex]w(x) = (x-3)(x^2-2x+1)[/tex]]
Ten wielomian już rozważaliśmy, więc przepisujemy z poprzedniego przykładu [tex]x^2-2x+1=(x-1)^2[/tex].
Zatem mamy [tex]w(x) = (x-1)^2(x-3)[/tex].
Pierwiastki wielomianu w to: [tex]x=1[/tex] (dwukrotny) i [tex]x=3[/tex] (jednokrotny).
c) [tex]u(x) = 4x^4-3x^2+x[/tex]
Nie mamy wyrazu wolnego, ale możemy wyłączyć przed nawias [tex]x[/tex]. Wówczas mamy [tex]u(x) = x(4x^3-3x+1)[/tex]. Będzie to oznaczało miejsce zerowe w punkcie x=0.
Dalej operujemy na wielomianie [tex]4x^3-3x+1[/tex]. Wyraz wolny to 1, ale dla x=1 otrzymamy [tex]4-3+1=2\neq 0[/tex]. Weźmy x=-1. Wówczas po podstawieniu mamy [tex]-4-3\cdot (-1) + 1 = -4+3+1 = 0[/tex]. Dzielimy wielomian przez dwumian x+1 i otrzymujemy [tex]4x^2-4x+1[/tex].
[[tex]u(x) = x(x+1)(4x^2-4x+1)[/tex]]
Otrzymaliśmy trójmian, który jest funkcją kwadratową. Najłatwiej będzie teraz obliczyć deltę, aby wyznaczyć miejsce lub miejsca zerowe tej funkcji albo stwierdzić, że funkcja ich nie posiada.
[tex]\Delta = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 16-16 = 0[/tex]. Zatem mamy jedno miejsce zerowe [tex]x_0 = \frac{-b}{2a} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}[/tex]. Pamiętajmy, że jest to pierwiastek dwukrotny. Omawianą funkcję kwadratową możemy zapisać jako [tex]4(x-\frac{1}{2})^2[/tex].
Cały wielomian u ma zatem postać [tex]u(x) = x(x+1)\cdot 4(x-\frac{1}{2})^2 = 4x(x+1)(x-\frac{1}{2})^2[/tex].
Pierwiastki tego wielomianu to: [tex]x=0[/tex] (jednokrotny), [tex]x=-1[/tex] (jednokrotny) i [tex]x=\frac{1}{2}[/tex] (dwukrotny).
Uwagi:
1. W nawiasach kwadratowych na bieżąco zapisywałem postaci wielomianów na danych etapach rozkładu, żeby pilnować tego, co jest właściwym wielomianem, a co stanowi formy pośrednie.
2. Dzielenie wielomianów jest trudne do pokazania w tekście, a nie mam możliwości zrobienia skanu, ale wszystkie operacje, które przeprowadziłem, można prosto zrobić schematem Hornera.
3. Za każdym razem, kiedy dochodzimy do funkcji kwadratowej, zamiast dzielenia można obliczyć deltę i w ten sposób wyznaczyć miejsca zerowe, ale czasami szybciej jest w pamięci podstawić liczbę i sprawdzić, czy ona pasuje.
4. [nazewnicza] Używam wymiennie określeń "miejsce zerowe" i "pierwiastek", bo oznaczają one tutaj to samo.
