Rozwiązanie:
[tex](x-3)^{2}+(y-2)^{2}=10\\S=(a,b)=(3,2), r=\sqrt{10} \\M=(4,-1)\\N=(6,1)[/tex]
Ponieważ [tex]|MP|=|NP|[/tex] oraz punkt [tex]P[/tex] należy do podanego okręgu, to musi on być równoodległy od tych punktów. Wystarczy więc znaleźć symetralną odcinka [tex]MN[/tex], a konkretniej punkty jej przecięcia z rozważanym okręgiem. Wyznaczamy równanie prostej [tex]MN[/tex]:
[tex]a_{MN}=\frac{1+1}{6-4} =1\\y=x+b\\1=6+b\\b=-5\\y=x-5[/tex]
Wyznaczamy środek tego odcinka:
[tex]S_{MN}=(\frac{4+6}{2}, \frac{-1+1}{2} )=(5,0)[/tex]
Wyznaczamy równanie symetralnej:
[tex]y=-x+b\\0=-5+b\\b=5\\y=-x+5[/tex]
Teraz wyznaczamy punkty jej przecięcia z okręgiem:
[tex]\left \{ {{(x-3)^{2}+(y-2)^{2}=10} \atop {y=-x+5}} \right. \\x^{2}-6x+9+(3-x)^{2}=10\\x^{2}-6x+9+9-6x+x^{2}=10\\2x^{2}-12x+18-10=0\\x^{2}-6x+4=0\\\Delta=36-4*1*4=20\\x_{1}=\frac{6-2\sqrt{5} }{2} =3-\sqrt{5} \\x_{2}=\frac{6+2\sqrt{5} }{2} =3+\sqrt{5} \\y_{1}=-3+\sqrt{5} +5=2+\sqrt{5} \\y_{2}=-3-\sqrt{5} +5=2-\sqrt{5}[/tex]
Zatem:
[tex]P=(3-\sqrt{5},2+\sqrt{5} )\vee P=(3+\sqrt{5},2-\sqrt{5} )[/tex]
Suma odciętych wszystkich punktów [tex]P[/tex] to:
[tex]S=x_{1}+x_{2}=6[/tex]
