Odpowiedź :
Odpowiedź:
Zad. 3
Suma = 3^2021 + 2^1999 = 3 + 8 = 11 to
cyfra jedności sumy = 1
Zad. 6
Ostatnia cyfra liczby będącej wynikiem działania:
Sumy 7^402 + 4^402 = 9 + 6 = 15 to tą liczbą jest liczba 5.
Zad. 7
Ostatnią cyfrą liczby (9^2021) - 1 = 9 - 1 = 8
Szczegółowe wyjaśnienie:
Zad 3.
Wyznacz cyfrę jedności sumy: 3 do potęgi 2021 + 2 do potęgi 1999.
3^2021 + 2^1999 =
Analiza liczby 3^2021
3º = 1; 3¹ = 3; 3² = 9; 3³ = 27; 3⁴ = 81; 3⁵ = 243; 3⁶ = 729; 3⁷ = 2187; 3^8 = 6561; 3^9 = 19683; 3¹⁰ = 59049; 3^11 = 7; 3^12 = 1; 3^13 = 3
wykł. potęgi: º..{¹...²...³..⁴..⁵...⁶...⁷..8.9..¹⁰.11..12.13.14.15.16.17.18.19.20.21.}
ostatn. cyfra: 1..{3..9..7..1..3..9..7..1..3..9..7...1...3...9...7...1...3..9...7...1....3.}
Pomijamy wykładnik potęgi 3º = 1, ponieważ nie pasuje do ciagu liczb naturalnych - liczby zaczynają się od 1, 2, 3, ..., 20, 21..., 2020, 2021, ...,
Do co 4-tego wykładnika potęgi wystąpił cykl ostatniej cyfry: 3, 9, 7, 1.
Z powyższej analizy ciągów wykładników potęg i ostatnich cyfr liczby
3^n, wynika, że:,
- co 4 wykładniki potęg wystąpił cykl ostatniej cyfry: {3, 9, 7, 1.},
- na jednym pełnym cyklu wykładników potęg: {1, 2, 3, ..., 18, 19, 20.} ...,
zamyka się dokładnie 5 cykli {3, 9, 7, 1.}, to cykle będą się powtarzać:
{...20, 21..., 80, 81..., 100,101,..., 1000, 1001, ..., 2000, 2001,..., 2020, 2021.}
{....,1.....3.......1.....3.........1.....3......, ....1.........3.................1........3...............1.........3.....}
to: Cyfra jedności liczby 3^2021 = 3
Analiza liczby 2^1999 (analogicznie jak analiza powyżej Zad. 3).
wykł. potęgi: º..{¹...²...³..⁴..⁵..⁶..⁷..8.9..¹⁰.11..12.13.14.15.16.17.18.19.20.}...,
ostatn. cyfra: 1..{2..4..8.6.2..4.8.6.2..4..8...6...2..4...8..6..2...4...8...6..}...,
Pomijamy również wykładnik potęgi 2º = 1. Cykle zamykają się
identycznie jak dla liczby 3^2021.
Do co 4-tego wykładnika potęgi wystąpił cykl ostatniej cyfry: 2,4,8,6.
Z powyższej analizy ciągów wykładników potęg i ostatnich cyfr liczby
2^n, wynika, że:,
- co 4 wykładniki potęg wystąpił cykl ostatniej cyfry: {2, 4, 8, 6},
- na jednym pełnym cyklu wykładników potęg: {1, 2, 3, ...,18, 19, 20.}...,
zamyka się dokładnie 5 cykli {2, 4, 8, 6.}, to cykle będą się powtarzać:
{18..19..20,...,79..80,...,99, 100,...,999, 1000, ..., 1999...2000}...,
{.4..,8....6.........8....6........8.....6......, ..8.........6................8............6}...,
to: Cyfra jedności liczby 2^1999 = 8
to: Odpowiedź:
Suma = 3^2021 + 2^1999 = 3 + 8 = 11 to
cyfra jedności sumy = 1
Zad 6.
Znajdź ostatnią cyfrę liczby będącej wynikiem działania 7^402 + 4^402
Analiza liczby 7^402 (postępujemy analogicznie jak w Zad. 3.)
wykł. potęgi: º..{¹...²...³..⁴..⁵..⁶..⁷.8.9..¹⁰.11..12.13.14.15.16.17.18.19.20.21.22}
ostatn. cyfra: 1..{7..9..3..1..7.9.3.1..7..9..3...1....7..9...3...1...7...9..3....1....7...9 }
Pomijamy również wykładnik potęgi 7º = 1. Cykle zamykają się
identycznie jak w Zad. 3..
Do co 4-tego wykładnika potęgi wystąpił cykl ostatniej cyfry: {7,9,3,1.}
Z powyższej analizy ciągów wykładników potęg i ostatnich cyfr liczby
7^n, wynika, że:,
- co 4 wykładniki potęg wystąpił cykl ostatniej cyfry: {7, 9, 3, 1.},
- na jednym pełnym cyklu wykładników potęg: {1, 2, 3, ...,18, 19, 20.}
zamyka się dokładnie 5 cykli {7, 9, 3, 1.}, to cykle będą się
powtarzać:
{20,..80.81.82, 100,...,400,401, 402.}
{.1.......1....7....9.......1...........1.....7........9.}
to: Ostatnia cyfra liczby 7^402 = 9
Analiza liczby 4^402 (postępujemy analogicznie jak w Zad. 3.)
wykł. potęgi: º..{¹...²..³..⁴..⁵..⁶..⁷.8.9..¹⁰.11..12.13.14.15.16.17.18.19.20.21.22}
ostatn. cyfra: 1..{4..6.4.6..4.6.4.6.4..6.4...6...4...6..4...6..4..6...4...6...4....6.}
Pomijamy również wykładnik potęgi 4º = 1.
Cykle zamykają się następująco:
Na nieparzystym wykładniku wypada 4 a na parzystym 6.
Do co 2-go wykładnika potęgi wystąpił cykl ostatniej cyfry: {4, 6.}
Z powyższej analizy ciągów wykładników potęg i ostatnich cyfr liczby
4^n, wynika, że:,
- co 2 wykładniki potęg wystąpił cykl ostatniej cyfry: {4, 6.},
- na jednym pełnym cyklu wykładników potęg: {1, 2.}
zamyka się dokładnie 1 cykli {4, 6.}, to cykle będą się
powtarzać:
{20,..80.81.82, 100,...,400,401, 402.}
{.6......6...4...6......6...........6.....4........6.}
to: Ostatnia cyfra liczby 4^402 = 6
to: Odpowiedź:
Ostatnia cyfra liczby będącej wynikiem działania:
Sumy 7^402 + 4^402 = 9 + 6 = 15 to tą liczbą jest liczba 5.
Zad. 7
Znajdź ostatnią cyfrę liczby (9^2021) - 1
Postępujemy jak w Zad. 3.
wykł. potęgi: º..{¹...²..³..⁴..⁵...⁶..⁷..8.9..¹⁰.11..12.13.14.15.16.17.18.19.20.21.}
ostatn. cyfra: 1..{9..1..9..1..9..1..9..1..9..1..9...1....9...1...9...1...9..1...9...1....9.}
Na nieparzystym wykładniku wypada 9 a na parzystym 1.
Pomijamy wykładnik potęgi 9º = 1,
Z powyższej analizy ciągów wykładników potęg i ostatnich cyfr liczby
9^n, wynika, że:,
- co 2 wykładniku potęg wystąpił cykl ostatniej cyfry: {9, 1},
to cykle będą się powtarzać:
{...20, 21..., 80, 81..., 100,101,..., 1000, 1001, ..., 2000, 2001,..., 2020, 2021.}
{....,1.....9.......1.....9.........1.....9......,.....1.........9...............1.........9...............1..........9.}
to: ostatnia cyfra liczby 9^2021 = 9
to: Odpowiedź:
Ostatnią cyfrą liczby (9^2021) - 1 = 9 - 1 = 8