Rozwiązanie:
[tex](n^{2}+2)^{2}+3n^{2}[/tex]
Gdy [tex]n[/tex] jest nieparzyste, to liczba [tex](n^{2}+2)^{2}[/tex] jest nieparzysta. Ponadto [tex]3n^{2}[/tex] jest nieparzyste, więc możemy zapisać, że:
[tex](n^{2}+2)^{2}+3n^{2}=(2k+1)^{2}+3(2p+1)^{2}=4k^{2}+4k+1+3(4p^{2}+4p+1)=4k^{2}+4k+1+12p^{2}+12p+3=4k^{2}+4k+12p^{2}+12p+4=4(k^{2}+k+3p^{2}+3p+1)[/tex]
Ponieważ [tex]k,p \in \mathbb{Z}[/tex], to liczba [tex]4(k^{2}+k+3p^{2}+3p+1)[/tex] jest podzielna przez [tex]4[/tex].
Gdy [tex]n[/tex] jest parzyste, to liczba [tex](n^{2}+2)^{2}[/tex] jest parzysta. Ponadto [tex]3n^{2}[/tex] jest parzyste, więc możemy zapisać, że:
[tex](n^{2}+2)^{2}+3n^{2}=(2k)^{2}+3(2p)^{2}=4k^{2}+12p^{2}=4(k^{2}+3p^{2})[/tex]
Ponieważ [tex]k,p \in \mathbb{Z}[/tex], to liczba [tex]4(k^{2}+3p^{2})[/tex] jest podzielna przez [tex]4[/tex].
Zatem rozważana liczba jest podzielna przez [tex]4[/tex] dla każdego [tex]n \in \mathbb{N}[/tex].
