W ostrosłupie prostym wszystkie krawędzie boczne są jednakowej długości.
Spodek wysokości jest środkiem okręgu opisanego na tej podstawie, czyli na podstawie ostrosłupa prostego musi dać się opisać okrąg i odległość wierzchołków podstawy od spodka wysokości jest jednakowa.
a)
Skoro krawędzie bocze są równe i spodek wysokośći znajduje się z punkcie przecięcia przekątnych, to podstawa musi być prostokątem, a skoro sąsiednie krawędzie podstawy są równe to jest to kwadrat.
Przekątna podstawy to: d = a√2 = 4√2
Przeciwległe krawędzie są jednakowej długości, więc są ramionami trójkąta równoramiennego, którego podstawą jest przekątna (d) podstawy.
Trójkąt równoramienny ma jednakowe kąty przy podstawie (45°), trójkąt równoramienny o dwóch kątach ostrych = 45° jest trójkątem prostokątnym. W trójkącie prostokątnym o kątach ostrych 45°, wysokość poprowadzona z wierzchołka kąta prostego jest równa połowie długości jego podstawy, czyli:
H = 0,5·4√2 = 2√2
Stąd objętość ostrosłupa:
b)
Krawędzie bocze są równe i spodek wysokości znajduje się z punkcie przecięcia przekątnych, więc podstawa jest prostokątem.
Z tw. PItagorasa:
Wysokość tworzy trójkąt prostokątny z połową przekątnej podstawy i krawędzią boczną, czyli kąt między przekątną podstawy i krawędzią boczną to: 180°-90°-30° = 60°
Przeciwległe krawędzie są jednakowej długości, więc są ramionami trójkąta równoramiennego, którego podstawą jest przekątna (d) podstawy (i który ma jednakowe kąty przy podstawie: 60°). Trójkąt równoramienny o kątach przy podstawie po 60° jest trójkątem równobocznym, a jego wysokość jest tutaj jednocześnie wysokością ostrosłupa, czyli:
Objętość ostrosłupa:
c)
Szeciokąt o równych bokach, na którym da się opisać okrąg jest sześciokątem foremnym, więc spodek wysokości ostrosłupa znajduje się w punkcie przecięcia się jego dłuższych przekątnych.
Dłuższe przekątne sześciokąta foremnego dzielą go na trójkąty równoboczne o boku równym długości boku szeciokąta.
Stąd krawędź podstawy: a = 6
Wysokość ostrosłupa (H) tworzy trójkąt prostokątny z połową przekątnej podstawy (6) i krawędzią boczną (b), czyli kąt między wysokością osrosłupa i krawędzią boczną to: 180°-90°-45° = 45°. Trójkąt o kątach 45°, 45° i 90° jest trójkątem równoramiennym, czyli:
Wysokość ostrosłupa: H = 6
