Rozwiązanie:
[tex]x+1+(x+1)^{2}+(x+1)^{3}+...=8x^{2}-1[/tex]
Lewa strona równania to nic innego jak szereg geometryczny o ilorazie [tex]q=x+1[/tex]. Aby takie równanie miało sens, to musi być spełniony warunek zbieżności takiego szeregu, czyli [tex]|q|<1[/tex]. W naszym przypadku:
[tex]|x+1|<1\\x+1<1 \wedge x+1>-1\\x<0 \wedge x>-2\\x \in (-2,0)[/tex]
Teraz stosujemy wzór na sumę szeregu zbieżnego i dostajemy:
[tex]S=\frac{x+1}{1-x-1} =-\frac{x+1}{x}[/tex], [tex]x\neq 0[/tex]
Zatem równanie ma postać:
[tex]-\frac{x+1}{x}=8x^{2}-1\\-x-1=8x^{3}-x\\8x^{3}=-1\\x^{3}=-\frac{1}{8} \\x=-\frac{1}{2} \in (-2,0)[/tex]
