Rozwiązanie:
Niech [tex]a,b,c[/tex] będą liczbami, które tworzą pierwotny ciąg arytmetyczny. Wtedy liczby [tex]a+5,b,c-3[/tex] tworzą ciąg geometryczny, a liczby [tex]a+6, 3b+2, c+14[/tex] tworzą ciąg arytmetyczny. Z własności ciągów możemy zapisać następujące zależności:
[tex]2b=a+c\\b^{2}=(a+5)(c-3)\\2(3b+2)=a+6+c+14=a+c+20[/tex]
Porządkujemy nasz układ równań:
[tex]2b=a+c\\b^{2}=ac-3a+5c-15\\6b=a+c+16[/tex]
Odejmujmy pierwsze i trzecie równanie stronami i dostajemy:
[tex]-4b=-16\\b=4[/tex]
Wstawiamy wartość do powyższych równań i dostajemy układ z dwiema niewiadomymi:
[tex]8=a+c\\16=ac-3a+5c-15[/tex]
Z pierwszego równania wyznaczamy [tex]c:[/tex]
[tex]c=8-a[/tex]
Wstawiamy do drugiego równania:
[tex]16=a(8-a)-3a+5(8-a)-15\\16=8a-a^{2}-3a+40-5a-15\\-a^{2}=-9\\a_{1}=-3\\a_{2}=3[/tex]
Obliczamy [tex]c:[/tex]
[tex]c_{1}=11\\c_{2}=5[/tex]
Zatem mamy dwie możliwości:
[tex]a=-3\\b=4\\c=11[/tex]
lub
[tex]a=3\\b=4\\c=5[/tex]
