Szczegółowe wyjaśnienie:
[tex]f(x)=x^3+6x^2[/tex]
1) Dziedzina:
[tex]x[/tex]∈[tex]R[/tex]
Funkcja jest ciągła w całej dziedzinie.
2) Miejsca zerowe:
[tex]x^3+6x^2=0\\x^2(x+6)=0\\x_1=0\\x_2=-6[/tex]
Przy czym [tex]x_1[/tex] jest pierwiastkiem podwójnym.
3) Przecięcie z osią OY:
[tex]f(0)=0[/tex]
4) Ekstrema:
[tex]\frac{d}{dx} f(x)=3x^2+12x\\3x^2+12x=0\\x(3x+12)=0\\x=0\\x=-4[/tex]
Wykonujemy schemat wykresu pochodnej, by sprawdzić wyznaczone punkty stacjonarne pod kątem możliwości występowania ekstremów. Widzimy, że pochodna dla [tex]x=-4[/tex] zmienia znak z dodatniego na ujemny. W tym punkcie będzie maksimum lokalne. Dla [tex]x=0[/tex] pochodna zmienia znak z ujemnego na dodatni, w tym punkcie będzie minimum lokalne. Wyznaczamy wartości dla tych punktów:
[tex]f(-4)=32\\f(0)=0[/tex]
5) Przedziały monotoniczności:
Wykorzystujemy wcześniej wyznaczoną pochodną i szkic jej wykresu.
Funkcja rośnie dla:
[tex]x[/tex]∈[tex](-\infty;-4>[/tex]∪[tex]<0;\infty)[/tex]
Funkcja maleje dla:
[tex]x[/tex]∈[tex]<-4;0>[/tex]
5) Punkty przegięcia:
[tex]\frac{d^2}{dx^2} f(x)=6x+12[/tex]
[tex]6x+12=0\\x=-2[/tex]
Sporządzamy schematyczny szkic wykresu w celu zbadania zmiany znaku pochodnej drugiego rzędu. Widzimy, że pochodna zmienia znak z ujemnego na dodatni. Zatem będzie to punkt przegięcia. Wyznaczamy jego wartość:
[tex]f(-2)=16[/tex]
6) Przedziały wklęsłości i wypukłości:
Korzystamy z pochodnej drugiego rzędu oraz szkicu jej wykresu.
Funkcja jest wklęsła dla:
[tex]x[/tex]∈[tex](-\infty;-2)[/tex]
Funkcja jest wypukła dla:
[tex]x[/tex]∈[tex](-2;\infty)[/tex]
