Rozwiązanie:
[tex]f(x)=-x+\frac{-2}{x-3} \\f'(x)=-1+\frac{2}{(x-3)^{2}} =\frac{2}{(x-3)^{2}}-1[/tex]
[tex]x\neq 3[/tex]
Obliczamy miejsca zerowe pochodnej:
[tex]f'(x)=0\\\frac{2}{(x-3)^{2}} -1=0\\\frac{2}{(x-3)^{2}}=1\\2=x^{2}-6x+9\\x^{2}-6x+7=0\\\Delta=36-4*1*7=8\\x_{1}=\frac{6-2\sqrt{2} }{2} =3-\sqrt{2}\\x_{2}= \frac{6+2\sqrt{2} }{2} =3+\sqrt{2}[/tex]
Szkicujemy wykres pochodnej (załącznik) i odczytujemy:
[tex]f'(x)>0[/tex] dla [tex]x[/tex] ∈ [tex](-\infty,3-\sqrt{2})[/tex] ∪ [tex](3+\sqrt{2} ,\infty)[/tex]
[tex]f'(x)=0[/tex] dla [tex]x[/tex] ∈ [tex][3-\sqrt{2},3+\sqrt{2} ][/tex]
[tex]f'(x)<0[/tex] dla [tex]x[/tex] ∈ [tex](3-\sqrt{2} ,3+\sqrt{2} )[/tex]
Stąd mamy:
[tex]f(x)[/tex] rośnie dla [tex]x[/tex] ∈ [tex](-\infty,3-\sqrt{2}>[/tex] ∪ [tex]<3+\sqrt{2} ,\infty)[/tex]
[tex]f(x)[/tex] maleje dla [tex]x[/tex] ∈ [tex]<3-\sqrt{2} ,3+\sqrt{2} >[/tex]
Zatem funkcja przyjmuje minimum lokalne dla [tex]f(3-\sqrt{2})[/tex] i jest ono równe:
[tex]f(3-\sqrt{2})=2\sqrt{2} -3[/tex]
Funkcja przyjmuje maksimum lokalne dla [tex]f(3+\sqrt{2} )[/tex] i jest ono równe:
[tex]f(3+\sqrt{2} )=-2\sqrt{2}-3[/tex]
