a)
[tex]sin\alpha + sin\alpha \cdot tg^2\alpha= \frac{tg\alpha}{cos\alpha} \\ L=sin\alpha + sin\alpha \cdot tg^2\alpha=sin\alpha \cdot (1 + tg^2\alpha)=sin\alpha \cdot (1 + \frac{sin^2\alpha}{cos^2\alpha})= \\ =sin\alpha \cdot (\frac{cos^2\alpha}{cos^2\alpha}+\frac{sin^2\alpha}{cos^2\alpha}) = sin\alpha \cdot \frac{cos^2\alpha +sin^2\alpha}{cos^2\alpha} = sin\alpha \cdot \frac{1}{cos^2\alpha} = \frac{sin\alpha}{cos^2\alpha} =[/tex]
[tex]= \frac{sin\alpha}{cos\alpha \cdot cos\alpha} =\frac{sin\alpha}{cos\alpha} \cdot \frac{1}{cos\alpha} =tg\alpha \cdot \frac{1}{cos\alpha} =\frac{tg\alpha}{cos\alpha}=P[/tex]
L = P, czyli dana równości jest tożsamością trygonometryczną.
b)
[tex]\frac{1}{1-cos\alpha} +\frac{1}{1+cos\alpha} =\frac{2}{sin^2\alpha} \\ L=\frac{1}{1-cos\alpha} +\frac{1}{1+cos\alpha} =\frac{1+cos\alpha}{(1-cos\alpha)(1+cos\alpha)} +\frac{1-cos\alpha}{(1-cos\alpha)(1+cos\alpha)} =\frac{1+cos\alpha+1-cos\alpha}{(1-cos\alpha)(1+cos\alpha)} = \\ = \frac{2}{1-cos^2\alpha}= \frac{2}{sin^2\alpha}=P[/tex]
L = P, czyli dana równości jest tożsamością trygonometryczną.
c)
[tex](1 - cos\alpha) \cdot (\frac{1}{sin} + \frac{1}{tg\alpha}) - sin\alpha = 0 \\ L = (1 - cos\alpha) \cdot (\frac{1}{sin} + \frac{1}{tg\alpha}) - sin\alpha =(1 - cos\alpha) \cdot (\frac{1}{sin} +ctg\alpha}) - sin\alpha = \\ = (1 - cos\alpha) \cdot (\frac{1}{sin} + \frac{cos\alpha}{sin\alpha}) - sin\alpha = (1 - cos\alpha) \cdot \frac{1+cos\alpha}{sin\alpha} - sin\alpha =[/tex]
[tex]=\frac{(1 - cos\alpha)(1+cos\alpha)}{sin\alpha} - sin\alpha=\frac{1-cos^2\alpha}{sin\alpha} - sin\alpha =\frac{sin^2\alpha}{sin\alpha} - sin\alpha = \\ = sin\alpha - sin\alpha =0=P[/tex]
L = P, czyli dana równości jest tożsamością trygonometryczną.
