Zad. 1
Dwa niezerowe wielomiany są równe, gdy są tego samego stopnia i mają równe współczynniki przy odpowiednich potęgach zmiennej.
w(x) = (a² - 1)x³ + (a + b)x² - 2ax oraz u(x) = (2a + 3)x² + (b + 4)x
Wielomiany muszą być tego samego stopnia, zatem współczynnik przy x³ wielomianu w(x) musi być równy zero. Stąd:
a² - 1 = 0
a² = 1
a = √1 lub a = - √1
a = 1 lub a = - 1
Dla a = 1
- współczynniki przy x²
a + b = 2a + 3
1 + b = 2 · 1 + 3
1 + b = 2 + 3
1 + b = 5
b = 5 - 1
b = 4
- współczynniki przy x
- 2a = b + 4
- 2 · 1 = 4 + 4
- 2 ≠ 8
Dla a = - 1
- współczynniki przy x²
a + b = 2a + 3
- 1 + b = 2 · (- 1) + 3
- 1 + b = - 2 + 3
- 1 + b = 1
b = 1 + 1
b = 2
- współczynniki przy x
- 2a = b + 4
- 2 · (- 1) = 2 + 4
2 ≠ 6
Odp. Nie istnieją takie wartości parametrów a i b, dla których wielomiany w(x) oraz u(x) byłby równe.
Zad. 2
w(x) = - 2x³ + 13x² - 17x + 3, p(x) = 2x - 3 i u(x) = ax² + bx + c
Wielomian zerowy to wielomian, który dla każdego x ∈ R przyjmuje wartość zero.
p · u - w = 0
(2x - 3) · (ax² + bx + c) - (- 2x³ + 13x² - 17x + 3) = 0
2ax³ + 2bx² + 2cx - 3ax² - 3bx - 3c + 2x³ - 13x² + 17x - 3 = 0
(2a + 2)x³ + (2b - 3a - 13)x² + (2c - 3b + 17)x + (- 3c - 3) = 0
Aby dana suma była równa zero, to jej składniki muszą być równe zero. Stąd:
2a + 2 = 0
2a = - 2 |:2
a = - 1
2b - 3a - 13 = 0
2b - 3 · (- 1) - 13 = 0
2b + 3 - 13 = 0
2b - 10 = 0
2b = 10 |:2
b = 5
2c - 3b + 17 = 0
2c - 3 · 5 + 17 = 0
2c - 15 + 17 = 0
2c + 2 = 0
2c = - 2 |:2
c = - 1
- 3c - 3 = 0
- 3 · (- 1) - 3 = 0
3 - 3 = 0
0 = 0
Odp.Wielomian p · u - w jest wielomianem zerowym dla a = - 1, b = 5 i c = - 1
Zad. 3
W(x) = x³ + ax² - 4x + b
a)
P(x) = x³ + (2a + 3)x² + (a + b + c)x - 1
W(x) = P(x)
st(W(x)) = st(P(x)) = 3
- współczynniki przy x³ są równe, bo wynoszą 1
- współczynniki przy x²
a = 2a + 3
a - 2a = 3
- a = 3 |·(-1)
a = - 3
- wyrazy wolne
b = - 1
- współczynniki przy x
- 4 = a + b + c
- 4 = - 3 - 1 + c
- 4 = - 4 + c
- 4 + 4 = c
0 = c
c = 0
Odp. Wielomian W jest równy wielomianowi P dla a = - 3, b = - 1 i c = 0
b)
a = 3 i b = 0 to:
W(x) = x³ + 3x² - 4x + 0 = x³ + 3x² - 4x = x · (x² + 3x - 4)
P(x) = x² + 3x - 4
Δ = 3² - 4 · 1 · (- 4) = 9 + 16 = 25; √Δ = √25 = 5
[tex]x_1 = \frac{-3-5}{2 \cdot 1} = \frac{-8}{2} = - 4 \\ x_1 = \frac{-3+5}{2 \cdot 1} = \frac{2}{2} = 1[/tex]
P(x) = x² + 3x - 4 = (x + 4)(x - 1)
Zatem:
W(x) = x · (x + 4)(x - 1)
Odp. W(x) = x (x + 4)(x - 1)
