x - krawędź podstawy
y - wysokość
(x,y>0)
Wyznaczam y
[tex]8x+4y=4a \ \ \ |:4[/tex]
[tex]2x+y=a[/tex]
[tex]y=-2x+a[/tex]
Obliczam pochodną
[tex]V=x^2y[/tex]
[tex]V=x^2(-2x+a)[/tex]
[tex]V=-2x^3+ax^2[/tex]
[tex]V'(x)=(-2x^3+ax^2)'[/tex]
[tex]V'(x)=-6x^2+2ax[/tex]
Obliczam miejsce zerowe pochodnej
[tex]-6x^2+2ax=0\ \ \ |:(-2)[/tex]
[tex]3x^2-ax=0[/tex]
[tex]x(3x-a)=0[/tex]
[tex]x=0\ \ \ lub\ \ \ 3x-a=0[/tex]
[tex].\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 3x=a\ \ \ |:3[/tex]
[tex].\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x=\frac{a}{3}[/tex]
W otoczeniu [tex]x=\frac{a}{3}[/tex] pochodna zmienia znak z "+" na "-" więc jest to maksimum.
Obliczam y
[tex]y=-2x+a[/tex]
[tex]y=-2\cdot\frac{a}{3}+a[/tex]
[tex]y=-\frac{2}{3}a+a[/tex]
[tex]y=\frac{a}{3}[/tex]
Graniastosłupa o największej objętości to sześcian o krawędzi [tex]\frac{a}{3}[/tex]
