Rozwiązanie:
Zadanie 1.
Istnieje wzór na pole trójkąta związany z jego obwodem i promienień okręgu wpisanego w ten trójkąt:
[tex]P=rp[/tex]
gdzie [tex]p[/tex] to połowa obwodu trójkąta. Skorzystamy z tego wzoru i obliczymy promień okręgu wpisanego w pierwszy trójkąt:
[tex]8=r*\frac{20}{2} \\10r=8\\r=\frac{4}{5}[/tex]
Dla drugiego trójkąta mamy podane pole, przekształcamy powyższy wzór, aby otrzymać [tex]p[/tex]:
[tex]p=\frac{P}{r}=\frac{10}{\frac{4}{5} }=\frac{50}{4}=\frac{25}{2}[/tex]
Tyle wynosi połowa obwodu tego trójkąta, obliczamy obwód:
[tex]Obw.=2p=25[/tex]
Zadanie 2.
Rysunek w załączniku. Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie prostokątnym [tex]AED[/tex] oraz z własności czworokąta opisanego na okręgu otrzymamy:
[tex]\left \{ {{(\frac{a-11}{2})^{2}+22^{2}=c^{2} } \atop {a+11=2c}} \right. \\\left \{ {{(\frac{a-11}{2})^{2}+484=c^{2}} \atop {a=2c-11}} \right. \\[/tex]
Wstawiamy wartość z drugiego równania do pierwszego i dostajemy:
[tex](\frac{2c-11-11}{2})^{2}+484=c^2\\(\frac{2c-22}{2})^{2}+484=c^{2}\\\frac{4c^2-88c+484}{4}+484=c^{2}\\ 4c^2-88c+484+1936=4c^2\\88c=2420\\c=27\frac{1}{2}[/tex]
Obliczamy [tex]a[/tex] z drugiego równania:
[tex]a=2c-11=2*\frac{55}{2} -11=55-11=44[/tex]
Obliczamy obwód trapezu:
[tex]Obw.=a+2c+11=44+55+11=110[/tex]
