Rozwiązanie:
Niech [tex]P_{1}, P_{2}, P_{3}[/tex] oznaczają odpowiednio pola najmniejszego, średniego i największego trójkąta. Nasze zadanie to obliczyć wartość wyrażenia:
[tex]P=P_{2}-P_{1}[/tex]
Zauważmy, że wszystkie wymienione trójkąty są podobne na podstawie cechy [tex]kkk[/tex]. Rozważmy podobieństwo trójkątów [tex]ABC[/tex] i [tex]PLC[/tex]. Z podobieństwa mamy:
[tex]\frac{3x}{x}=k\\k=3[/tex]
Zatem skala tego podobieństwa wynosi [tex]3[/tex]. Oznacza to, że:
[tex]\frac{P_{3}}{P_{1}} =k^{2}\\\frac{P_{3}}{P_{1}}=9\\P_{3}=9P_{1}[/tex]
Stąd wynika, że pole najmniejszego trójkąta jest [tex]9[/tex] razy mniejsze niż największego i wynosi:
[tex]P_{1}=\frac{36}{9}=4[/tex]
Dalej rozważamy podobieństwo trójkątów [tex]ABC[/tex] i [tex]SKC[/tex]. Z podobieństwa mamy:
[tex]\frac{3x}{2x}=k\\k=\frac{3}{2}[/tex]
Zatem skala tego podobieństwa wynosi [tex]\frac{3}{2}[/tex]. Oznacza to, że:
[tex]\frac{P_{3}}{P_{2}}=k^{2}\\ \frac{P_{3}}{P_{2}}=\frac{9}{4}\\P_{3}=\frac{9}{4}P_{2}[/tex]
Stąd wynika, że pole trójkąta [tex]SKC[/tex] jest równe:
[tex]P_{2}=\frac{4}{9}*36=16[/tex]
Teraz możemy obliczyć pole rozważanego trapezu:
[tex]P=P_{2}-P_{1}=16-4=12[/tex]
