Odpowiedź:
1. x = 5 2. A∩B = (-10,-2>
Szczegółowe wyjaśnienie:
Zadanie 1
[tex]\\\frac{(x-2)^{2}}{2} + x = -5 * log_{\frac{1}{3}}*log_{2} 8 - \frac{(4-x)(4+x)}{2}\\\frac{x^{2}-4x+4}{2} + x = -5log_{3^{-1}} * log_{2} 2^{3} - \frac{16-x^{2}}{2} \\\frac{x^{2}-4x+4}{2} + x = -5log_{3^{-1}} 3 - \frac{16-x^{2}}{2}\\\frac{x^{2}-4x+4}{2} + x = -5 *(-1) - \frac{16-x^{2}}{2}\\\frac{x^{2}-4x+4}{2} + x = 5 - \frac{16-x^{2}}{2} |*2\\x^{2} - 4x + 4 +2x = 10 - (16-x^{2})\\x^{2} - 4x + 4 +2x = 10 - 16+x^{2}\\- 4x + 4 +2x = 10 - 16\\-2x = 10 - 16 - 4\\-2x = -10 |:(-2)\\x = 5[/tex]
x = 5
Zadanie 2
[tex]\left \{ {{3x^{2} - \frac{(3x +1)^{2}}{3} \geq \frac{x}{2} + 4\frac{2}{3} } \atop {-2 <\frac{1}{2} x + 3 \leq 4}} \right.[/tex]
Pierwsze równanie:
[tex]{3x^{2} - \frac{(3x +1)^{2}}{3} \geq \frac{x}{2} + 4\frac{2}{3}\\[/tex]
[tex]{3x^{2} - \frac{9x^{2}+6x+1}{3} \geq \frac{x}{2} + \frac{14}{3} |*6\\[/tex]
[tex]18x^{2} -2(9x^{2} +6x+1)\geq 3x+28\\18x^{2} - 18x^{2} - 12x - 2\geq 3x +28\\-12x - 2\geq 3x +28\\-15x \geq 30 |:(-15)\\x \leq -2[/tex]
x ∈ (-∞, -2>
Drugie równanie:
[tex]\left \{ {{\frac{1}{2}x+3 >-2 } \atop {\frac{1}{2}x+3 \leq 4 }} \right. \\\left \{ {{x>(-2-3)*2} \atop {x\leq (4-3)*2}} \right. \\\left \{ {{x>10} \atop {x\leq 2}} \right. \\[/tex]
x ∈ (-10,2>
Teraz nanosimy oba rozwiązania na oś liniową:
rys.
I odczytujemy z wykresu część wspólną:
A∩B = (-10,-2>
Można wykonać sprawdzenie podstawiając do równań x z części wspólnej zbiorów.
Weźmy x=9; następnie podstawmy:
[tex]\frac{1}{2} * (-9) + 3 \leq 4\\-4,5 + 3 \leq 4\\-1,5 \leq 4[/tex]
PRAWDA
[tex]\frac{1}{2} * (-9) > -2\\-4,5 > -2[/tex]
PRAWDA
[tex]{3*(-9)^{2} - \frac{(3*(-9) +1)^{2}}{3} \geq \frac{-9}{2} + 4\frac{2}{3}[/tex]
[tex]3 * 3^{4} - \frac{(-26)^{2}}{3} \geq \frac{1}{6} \\3^{5} - \frac{676}{3} \geq \frac{1}{6} \\243 - \frac{676}{3} \geq \frac{1}{6} \\\frac{53}{3} \geq \frac{1}{6}\\318 \geq 3[/tex]
PRAWDA
Wszystkie trzy równania podczas sprawdzenia są prawdziwe.
