Rozwiązanie:
[tex]x^{4}+y^{4}+1>x^{3}y+xy^{3}\\x^{4}-x^{3}y+y^{4}-xy^{3}+1>0\\x^{3}(x-y)+y^{3}(y-x)+1>0\\ x^{3}(x-y)-y^{3}(x-y)+1>0\\(x-y)(x^{3}-y^{3})+1>0\\(x-y)^{2}(x^{2} +xy+y^{2})+1>0[/tex]
Teraz zauważmy, że:
[tex](x-y)^{2} \geq 0\\(x^{2} +xy+y^{2})\geq 0\\[/tex]
Widzimy więc, że nierówność jest zawsze prawdziwa, gdyż po lewej stronie dostaliśmy iloczyn liczb nieujemnych powiększony o [tex]1[/tex], a wartość takiego wyrażenia jest zawsze większa od [tex]0[/tex].
[tex]q.e.d.[/tex]
