Rozwiązanie:
Niech kąt [tex]APM[/tex] ma miarę [tex]\alpha[/tex], kąt [tex]MAP[/tex] miarę [tex]\beta[/tex], a kąt [tex]AMP[/tex] miarę [tex]\gamma[/tex]. Z definicji funkcji tangens mamy:
[tex]tg\beta =\frac{\frac{a}{2} }{a}=\frac{1}{2} \\tg\gamma=\frac{a}{\frac{a}{2} }=2[/tex]
Stąd szybko możemy obliczyć, że:
[tex]sin\beta =\frac{\sqrt{5} }{5}, cos\beta =\frac{2\sqrt{5} }{5}\\sin\gamma=\frac{2\sqrt{5} }{5}, cos\gamma=\frac{\sqrt{5} }{5}[/tex]
Zauważmy teraz, że kąt [tex]APM[/tex] ma miarę [tex]180[/tex]° - [tex](\beta +\gamma)[/tex]. Stąd mamy:
[tex]sin\alpha =sin(180-(\beta +\gamma))=sin(\beta +\gamma)=sin\beta cos\gamma+cos\beta sin\gamma=\frac{\sqrt{5} }{5} *\frac{\sqrt{5} }{5} +\frac{2\sqrt{5} }{5} *\frac{2\sqrt{5} }{5} =\frac{5}{25} +\frac{20}{25}=1\\[/tex]
To oznacza, że [tex]\alpha =90[/tex]°.
Teraz zauważmy, że trójkąty [tex]APM[/tex] oraz [tex]APB[/tex] są podobne w skali [tex]k=2[/tex]. Stąd otrzymamy m.in.:
[tex]\frac{|AP|}{|MP|}=2[/tex]
Niech [tex]x[/tex] oznacza długość odcinka [tex]MP[/tex], wtedy odcinek [tex]AP[/tex] jest równy [tex]2x[/tex]. Wyrażamy [tex]x[/tex] za pomocą [tex]a[/tex]:
Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie [tex]AMP[/tex]:
[tex]x^{2} +4x^{2} =\frac{a^{2} }{4}\\5x^{2} =\frac{a^{2}}{4} \\x^{2} =\frac{a^{2} }{20}\\x=\frac{a\sqrt{5} }{10}[/tex]
Teraz obliczamy pole czworokąta [tex]BCNP\\[/tex]:
[tex]P_{BCNP}=a^{2}-(2*\frac{1}{2} *a*\frac{a}{2}-\frac{a^{2}}{20})=a^{2}-\frac{9a^{2} }{20}=\frac{11a^{2} }{20}[/tex]
