Odpowiedź:
[tex]f_{min}=2[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
[tex]f(x)=3^{x} +3^{-x}= 3^{x} +(\frac{1}{3} )^{x} =3^{x}+\frac{1}{3^{x} }[/tex]
Podstawmy sobie [tex]t=3^{x}[/tex], gdzie [tex]t>0[/tex]. Wtedy mamy:
[tex]f(t)=t+\frac{1}{t}=\frac{t^{2}+1 }{t}\\[/tex]
[tex]f'(t)=\frac{2t^{2}-t^{2}-1 }{t^{2} }=\frac{t^{2}-1 }{t^{2} } \\[/tex]
[tex]f'(t)=0[/tex]
[tex]\frac{t^{2}-1 }{t^{2} }=0\\t^{2}-1=0\\(t-1)(t+1)=0\\t=-1, t=1\\[/tex]
Szkicujemy wykres pochodnej (załącznik) i odczytujemy dla jakiej wartości [tex]t[/tex] funkcja przyjmuje minimum lokalne:
Funkcja [tex]f[/tex] przyjmuje minimum lokalne dla [tex]t=1[/tex] (wartość ta spełnia warunki zadania). Obliczamy wartość tego minimum:
[tex]f(t)=f(1)=\frac{1+1}{1}=2[/tex]
Najmniejsza wartość funkcji [tex]f[/tex] jest równa [tex]2[/tex].
