Jeśli ciąg geometryczny jest nieskończony, to znaczy że ma nieskończoną liczbę wyrazów?

Może ktoś mi rozjaśnić, na czym polega liczenie sumy z takiego ciągu. Wydawało mi się, że skoro jest nieskończenie wiele wyrazow, to i suma będzie:

[tex] -\infty \:\: lub \:\: + \infty [/tex]

Wzór:

[tex]S = \frac{a_1}{1-q} [/tex]

Co powoduje, że suma z takiego ciągu jest stałą liczbą?

Dam Naj za dobre wyjaśnienie :)

W przypadku takiego ciągu suma nie jest równa [tex]-\infty[/tex] lub [tex]\infty[/tex] (może być, jeżeli poniższy warunek nie jest spełniony). Wzór, który podałeś można stosować tylko i wyłącznie wtedy, gdy:

[tex]|q|<1[/tex]

Dzięki temu założeniu suma może istnieć i jest stałą liczbą. Abyś mógł sobie wyobrazić dlaczego tak jest spróbuj sobie narysować kwadrat o boku [tex]2[/tex] i podziel go na pół, później to co wyjdzie znowu na pół, potem znowu na pół i tak w kółko, dojdziesz do wniosku, że suma pól wszystkich tych połówek zmierza do [tex]4[/tex].

Na konkretnym przykładzie:

Niech [tex]a=2[/tex] będzie pierwszym wyrazem nieskończonego ciągu geometrycznego o ilorazie [tex]q=\frac{1}{2}[/tex]. Kolejne wyrazy tego ciągu to [tex]2, 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8} ...[/tex]Warunek dotyczący ilorazu jest spełniony, więc stosujemy wzór, który podałeś:

[tex]S=\frac{2}{1-\frac{1}{2} }=4[/tex]