Rozwiązane

Liczby a i b są liczbami naturalnymi. Ponadto wiadomo, że reszta z dzielenia liczby a przez 4 jest równa 3, a reszta z dzielenia liczby b przez 4 jest równa 1. Wykaż, że różnica kwadratów liczb a i b jest liczbą podzielną przez 8.

Odpowiedź :

Louie314viz

Dowód:

Liczby [tex]a[/tex] i [tex]b[/tex] możemy zapisać w postaci:

[tex]a=4k+3\\b=4n+1[/tex]

dla pewnych liczb całkowitych [tex]k[/tex] i [tex]n[/tex].

Obliczamy różnicę kwadratów tych liczb:

[tex]a^{2}-b^{2} =16k^{2}+24k+9-16n^{2} -8n-1=16k^{2}+24k-16n^{2} -8n+8=8(2k^{2}+3k-2n^{2} -n+1)[/tex]

Teraz widzimy, że różnica kwadratów tych liczb jest podzielna przez [tex]8[/tex], gdyż jest iloczynem liczby [tex]8[/tex] i [tex]2k^{2}+3k-2n^{2} -n+1[/tex].

[tex]q.e.d.[/tex]

Viz Inne Pytanie