Rozwiązanie:
Aby równanie miało dwa różne pierwiastki, to musi być spełniony warunek:
Δ > 0
Obliczamy wyróżnik trójmianu:
Δ = [tex]m^{2}-4*1*2=m^{2}-8[/tex]
Sprawdzamy dla jakich [tex]m[/tex] warunek jest spełniony:
[tex]m^{2}-8>0\\(m-2\sqrt{2} )(m+2\sqrt{2} )>0\\m= -2\sqrt{2} , m=2\sqrt{2} \\[/tex]
[tex]m[/tex] ∈ [tex](-\infty, -2\sqrt{2})[/tex] ∪ [tex](2\sqrt{2},\infty)[/tex]
Suma kwadratów pierwiastków tego równania, to:
[tex]x_{1}^{2} +x_{2}^{2} =(x_{1}+x_{2})^{2} -2x_{1}x_{2}[/tex]
Ze wzorów Viete'a mamy:
[tex]x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}=-m\\ x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}=2[/tex]
Wstawiamy wartości do wzoru na sumę kwadratów pierwiastków:
[tex](-m)^{2} -2*2=m^{2} -4[/tex]
Z zadania wiemy, że musi zachodzić warunek:
[tex]m^{2}-4>2m^{2}-13\\m^{2}-9<0\\(m-3)(m+3)<0\\[/tex]
[tex]m[/tex] ∈ [tex](-3,3)[/tex]
Wyznaczamy część wspólną dwóch warunków i dostajemy odpowiedź:
[tex]m[/tex] ∈ [tex](-3, -2\sqrt{2})[/tex] ∪ [tex](2\sqrt{2}, 3)[/tex]
