Odpowiedź :
Odpowiedź:
[tex]a_{1}=1[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Zapisujemy wzór na [tex]n[/tex]-ty i wyraz ciągu [tex]a_{n}[/tex]:
[tex]a_{n}=a_{1}+(n-1)2=a_{1}+2n-2[/tex]
Wówczas:
[tex]a_{n+1}=a_{1}+2(n+1)-2=a_1+2n[/tex]
Zapisujemy wzór na [tex]n[/tex]-ty wyraz ciągu [tex]b_{n}[/tex]:
[tex]b_{n}=(\frac{1}{3} )^{a_{n}} =(\frac{1}{3} )^{a_{1}+2n-2}=(\frac{1}{3} )^{a_{1}+2n}*(\frac{1}{3} )^{-2}[/tex]
Wówczas:
[tex]b_{n+1}=(\frac{1}{3} )^{a_{n+1}}=(\frac{1}{3} )^{a_{1}+2n}[/tex]
Obliczamy teraz iloraz szeregu geometrycznego:
[tex]q=\frac{b_{n+1}}{b_{n}} =\frac{(\frac{1}{3} )^{a_{1}+2n}}{(\frac{1}{3} )^{a_{1}+2n}*(\frac{1}{3} )^{-2}} =\frac{1}{3^{2} } =\frac{1}{9}[/tex]
Teraz możemy obliczyć [tex]b_{1}[/tex] ze wzoru na sumę szeregu zbieżnego:
[tex]\frac{b_{1}}{1-\frac{1}{9} }=\frac{3}{8}[/tex]
[tex]b_{1}=\frac{1}{3}[/tex]
Obliczamy pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego:
[tex]b_{1}=(\frac{1}{3} )^{a_{1}}=\frac{1}{3}[/tex] ⇔ [tex]a_{1}=1[/tex]
Odpowiedź:
[tex]a_1=1[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Jako że ciąg [tex]a_n[/tex] jest ciągiem arytmetycznym o różnicy 2, wiemy że ma postać:
[tex]a_n=a_1+2(n-1)[/tex]
Ciąg [tex]b_n[/tex] natomiast jest ciągiem geometrycznym. Żeby znaleźć jego iloraz, dzielimy dowolny wyraz ciągu, przez wyraz poprzedzający:
[tex]\frac{b_{n+1}}{b_n} =\frac{(\frac{1}{3})^{a_{n+1} }}{(\frac{1}{3})^{a_n}} \\[/tex]
Wiemy że:
[tex]a_{n+1}=a_n+2[/tex]
więc:
[tex]\frac{ (\frac{1}{3}) ^ {a_{n+1} } } { (\frac{1}{3}) ^ {a_n}}=\frac{(\frac{1}{3})^{a_n+2} }{(\frac{1}{3})^{a_n}}=\frac{(\frac{1}{3})^{a_n} (\frac{1}{3})^2 }{(\frac{1}{3})^{a_n}}=(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}=q[/tex]
Gdzie q to iloraz ciągu [tex]b_n[/tex]. Znając go, możemy użyć wzoru na sumę ciągu geometrycznego:
[tex]\Sigma b_n=b_1 \frac{1-q^n}{1-q}[/tex]
Jako że ciąg [tex]a_n[/tex] jest nieskończony, także i ciąg [tex]b_n[/tex] będzie miał nieskończenie wiele elementów. Suma zatem będzie granicą powyższego wyrażenia przy n dążącym do nieskończoności:
[tex]\lim_{n \to \infty} b_1 \frac{1-q^n}{1-q}=\lim_{n \to \infty} b_1 \frac{1-({\frac{1}{9} })^n}{1-{\frac{1}{9} }}[/tex]
Wiemy że wyraz [tex](\frac{1}{9} )^n[/tex] przy n dążącym do nieskończoności będzie zmierzał do zera, zatem:
[tex]\lim_{n \to \infty} b_1 \frac{1-({\frac{1}{9} })^n}{1-{\frac{1}{9} }}=b_1\frac{1}{1-{\frac{1}{9} }}=b_1\frac{1}{\frac{8}{9}}= {\frac{9}{8}} b_1[/tex]
Porównując to z wartością sumy daną w treści zadania mamy:
[tex]{\frac{9}{8}} {b_1} =\frac{3}{8} \\9b_1=3\\b_1=\frac{1}{3}[/tex]
Wiemy że:
[tex]b_1=(\frac{1}{3} )^{a_1}=\frac{1}{3}[/tex]
Stąd [tex]a_1=1[/tex].