Odpowiedź:
Szczegółowe wyjaśnienie:
Ogólny mechanizm jest następujący. Mamy liczbę 333.
Tworzymy indeks zaczynający się od zera i przypiszmy go do cyfry jedności.
Następnie do liczby dziesiątek przypiszmy indeks o wartości 1 i 2 do cyfr setek.
Mamy coś takiego:
[tex]3_2 3_1 3_0[/tex]
Pamiętajmy, że nie ma pośród naszych cyfr wartości 0.
Czyli ogólny zapis naszej liczby jest jak poniżej:
[tex]p_n p_(n-1) .... p_1 p_0[/tex]
Zaindeksujmy położenie naszej liczby pośród wszystkich liczb w następujący sposób.
[tex](p_0 - 1)k^0 + (p_1-1)k^1+...+(p_{n-1} - 1)k^{n-1}[/tex]
Czyli podstawiając do wzoru nasze wartości mamy (tutaj w odwrotnej kolejności):
[tex](3-1)7^2+(3-1)7^1+(3-1)7^0\\2*49 + 2*7 + 2*1\\98 + 14 + 2\\114[/tex]
Licząc od zera liczba 333 jest na 114 pozycji czyli jest 115 liczbą w kolejności czyli istnieje 114 liczb, które są mniejsze niż nasza liczba.
Załączyłem tabelkę z wszystkimi możliwymi kombinacjami.
Najpierw musimy przejść przez wszystkie elementy z pierwszej kolumny a jest ich 2*49. Później bierzemy pod uwagę drugą kolumnę czyli 2*7 i ostatnią kolumnę czyli 2. A ostatnie 2 możemy zapisać jako 2 * 1 a docelowo [tex]2*7^0[/tex]. Pozostałe 7 zapiszemy jako [tex]7^1[/tex] a 49 to nic innego jak [tex]7^2[/tex].
Z kolei 7 to nasze k.
Oczywiście jest to prawdziwe dla innych przypadków jeżeli pierwszą liczbą ze zbioru jest cyfra 1.
