Odpowiedź:
[tex]\huge\boxed{a)\ 31;\ b)\ 255}[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Zacznijmy od wzoru nr 0 - tak umownie.
Mamy 1 patyczek.
Wzór nr 1 - do końca patyczka dokładamy 2 patyczki (razem 1 + 2 = 3).
Wzór nr 2 - do końca każdego dołożonego wcześniej patyczka dokładamy kolejne 2 patyczki (razem (1 + 2) + 4 = 7).
Wzór nr 3 - do końca każdego dołożonego wcześniej patyczka dokładamy kolejne 2 patyczki (razem (1 + 2) + 4 + 8 = 15).
Widzimy, że kolejne liczby, to są kolejne potęgi liczby 2:
[tex]2^0=1\\2^1=2\\2^2=4\\2^3=8\\\vdots[/tex]
We wzorze nr 4 będzie: (1 + 2) + 4 + 8 + 16 = 31.
We wzorze nr 7 będzie: 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 = 255
Możemy również rozwiązać to zadanie patrząc na to jak na sumę kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego, w którym:
[tex]a_1=2\\\\q=2[/tex]
Gdzie na końcu dodaniu jeszcze [tex]a_0=1[/tex]
Korzystając ze wzoru na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego mamy:
[tex]S_n=\dfrac{a_1(1-q^n)}{1-q}\\\\S_4=\dfrac{2\cdot(1-2^4)}{1-2}=\dfrac{2\cdot(1-16)}{-1}=-2\cdot(-15)=30[/tex]
Dodajemy jeszcze 1 i ostatecznie mamy [tex]30+1=31[/tex].
[tex]S_7=\dfrac{2\cdot(1-2^7)}{1-2}=\dfrac{2\cdot(1-128)}{-1}=-2\cdot(-127)=254[/tex]
Dokładamy jeszcze 1 jak poprzednio i mamy: [tex]255[/tex].
Jeżeli chcielibyśmy uzyskać wzór na ilość patyczków w dowolnym numerze wzoru, to będzie on wyglądał tak:
[tex]\dfrac{2\cdot(1-2^n)}{1-2}+1=\dfrac{2-2^{n+1}}{-1}+1=2^{n+1}-2+1=2^{n+1}-1[/tex]
Sprawdźmy dla wiadomych:
[tex]S_1=2^{1+1}-1=2^2-1=4-1=3\qquad\bold{OK}\\\\S_2=2^{2+1}-1=2^3-1=8-1=7\qquad\bold{OK}\\\\S_3=2^{3+1}-1=2^4-1=16-1=15\qquad\bold{OK}\\\\S_4=2^{4+1}-1=2^5-1=32-131\qquad\bold{OK}\\\\S_7=2^{7+1}-1=2^8-1=256-1=255\qquad\bold{OK}[/tex]
Czyli poniższy zwór jest poprawny:
[tex]\huge\boxed{2^{n+1}-1}[/tex]
