Odpowiedź:
[tex]\frac{8}{105}[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Na początku uprośćmy wyrażenie
[tex]log_{\sqrt{2} }(x_{n+1} -x_{n}) =2\\podstawmy:\\t=x_{n+1} -x_{n} \\log_{\sqrt{2} }(t) =2\\t=(2^{\frac{1}{2} })^2=2 \\czyli\\x_{n+1} -x_{n}=2[/tex]
Wynika z tego, że nasz ciąg jest arytmetyczny, a jego różnica wynosi dokładnie 2.
Teraz obliczmy wartość pierwszego wyrazu
[tex]x_1+2r+x_1+3r+x_1+4r+x_1+5r=40\\4x_1+14r=40\\4x_1+14*2=40\\x_1=3[/tex]
Ostatnia część. Należy zauważyć, że podany ciąg będzie geometryczny, a jego iloraz wynosi
[tex]q=(\frac{2}{5} )^{2} =\frac{4}{25}[/tex]
Ponieważ q zawiera się w przedziale od -1 do 1 oznacza to, że mamy do czynienia ze zbieżnym szeregiem geometrycznym.
Możemy więc skorzystać z wzoru na sumę szeregu geometrycznego
[tex]S_n=\frac{a_1}{1-q} =\frac{(\frac{2}{5} )^3}{1-(\frac{2}{5} )^2} =\frac{\frac{8}{125} }{\frac{21}{25} } =\frac{8}{125} *\frac{25}{21} =\frac{8}{105}[/tex]
