Oznaczenia jak na rysunku w zał. 1
Długość boków równoległoboku: a, b i a = 3b
Wysokość równoległoboku: h
Obwód równoległoboku: L = 32 cm i L = 2a + 2b
Długość przekątnych równoległoboku: d₁ i d₂
Kąt ostry w równoległoboku: α
Kąt rozwarty w równoległoboku: β = 120°
----------
L = 32 cm i L = 2a + 2b oraz a = 3b
Zatem:
2a + 2b = 32 |:2
a + b = 16
3b + b = 16
4b = 16 |:4
b = 4 cm
a + b = 16
a + 4 = 16
a = 16 - 4
a = 12 cm
W równoległoboku suma dwóch sąsiednich kątów równa jest 180°, stąd:
α + β = 180°
α + 120° = 180°
α = 180° - 120°
α = 60°
Trójkąt AED to trójkąt prostokątny, stąd:
[tex]sin\alpha = \frac{h}{b} \\ sin60^o = \frac{h}{4} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} =\frac{h}{4} \\ 2h = 4\sqrt{3} \ \ \ |:2 \\ h = 2 \sqrt{3} \ cm[/tex]
Pole równoległoboku
[tex]P = ah = 12 \cdot 2\sqrt{3} = 24\sqrt{3} \\ \underline{P = 24\sqrt{3} \ cm^2}[/tex]
Aby obliczyć długość przekątnych równoległoboku korzystamy z tw. cosinusów (patrz zał. 2).
Długość przekątnej d₁ równoległoboku (długość boku d₁ w trójkącie ABC)
[tex]d_1^2 = a^2 + b^2 - 2abcos\beta \\ d_1^2 = 12^2 + 4^2 - 2 \cdot 12 \cdot 4 \cdot cos120^o \\ d_1^2 = 144 + 16 - 96 \cdot cos(180^o -60^o) \\ d_1^2 = 160 - 96 \cdot (-cos60^o) \\ d_1^2 = 160 - \not{96}^{48} \cdot (- \frac{1}{\not{2}_1}) \\ d_1^2 = 160 +48 \\ d_1^2 = 208 \ i \ d_1 > 0 \\ d_1 = \sqrt{208} \\ d_1 = \sqrt{16 \cdot 13} \\ \underline{d_1 = 4\sqrt{13} \ cm}[/tex]
Długość przekątnej d₂ równoległoboku (długość boku d₂ w trójkącie ABD)
[tex]d_2^2 = a^2 + b^2 - 2abcos\alpha \\ d_2^2 = 12^2 + 4^2 - 2 \cdot 12 \cdot 4 \cdot cos60^o \\ d_2^2 = 144 + 16 - \not{96}^{48} \cdot \frac{1}{\not{2}_1} \\ d_2^2 = 160 - 48 \\ d_2^2 = 112 \ i \ d_2 > 0 \\ d_2 = \sqrt{112} \\ d_2 = \sqrt{16 \cdot 7} \\ \underline{d_2 = 4\sqrt{7} \ cm}[/tex]
Odp. Przekątne danego równoległoboku mają długość 4√7 cm i 4√13 cm, a jego pole wynosi 24√ 3 cm².
