Oznaczenia jak na rysunku w załączniku.
Dłuższa podstawa trapezu równoramiennego: a = 6 cm i a = 2x + b, gdzie x to odcinki wydzielone na dłuższej podstawie trapezu przez jego wysokości
Krótsza podstawa trapezu równoramiennego: b
Wysokość trapezu równoramiennego: h = 2 cm
Przekątna trapezu równoramiennego: d
Kąt między przekątną i podstawą trapezu równoramiennego: α i [tex]sin\alpha = \frac{\sqrt{5}}{5}[/tex]
----------
Trójkąt AEC to trójkąt prostokątny, zatem:
[tex]sin\alpha = \frac{\sqrt{5}}{5} \ i \ sin\alpha = \frac{h}{d} \\ \frac{h}{d} = \frac{\sqrt{5}}{5} \\ \frac{2}{d} = \frac{\sqrt{5}}{5} \\ d\sqrt{5} = 2 \cdot 5 \\ d\sqrt{5} =10 \ \ \ |: \sqrt{5} \\ d = \frac{10}{\sqrt{5}}[/tex]
oraz na podstawie tw. Pitagorasa:
[tex](x + b)^2 + h^2 = d^2 \\ (x + b)^2 + 2^2 = (\frac{10}{\sqrt{5}})^2 \\ (x + b)^2 + 4 = \frac{100}{5} \\ (x + b)^2 + 4 =20 \\ (x + b)^2 =20 - 4 \\ (x + b)^2 =16 \ \ i \ \ x + b > 0 \\ x + b = \sqrt{16} \\ x + b = 4[/tex]
Stąd:
a = 6 i a = 2x + b
2x + b = 6
x + x + b = 6
x + 4 = 6
x = 6 - 4
x = 2 cm
2x + b = 6
2 · 2 + b = 6
4 + b = 6
b = 6 - 4
b = 2 cm
Pole trapezu równoramiennego
[tex]P = \frac{a + b}{2} \cdot h = \frac{6 + 2}{\not{2}_1} \cdot \not{2}^1 = 8 \\ \underline{P = 8 \ cm^2}[/tex]
Odp. Pole danego trapezu równoramiennego wynosi 8 cm².
