Odpowiedź:
[tex]\bold{P(A) = \frac3{10}\cdot1 + \frac7{10}\cdot\frac3{10} = 0,3 + 0,21 = 0,51}[/tex]
lub: [tex]\bold{P(A) = 1-\frac7{10}\cdot\frac7{10} =1- 0,49 = 0,51}[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Doświadczenie polega na wylosowaniu kolejno dwóch kul. Po wylosowaniu pierwszej zwracamy ją, więc drugą losujemy z takiego samego zestawu kul.
Interesuje nas zdarzenie, że wylosowaliśmy kule, z których jedna jest czarna. O drugiej nie mamy żadnych informacji, więc może to być kula dowolnego koloru (czarna również).
Mamy 3 kule czarne, a wszystkich łącznie jest 10, czyli prawdopodobieństwo wylosowania kuli czarnej w pierwszym losowaniu wynosi 3/10, a kuli innej niż czarna: 7/10.
Ponieważ zwracamy wylosowaną kulę, w drugim losowaniu mamy takie samo prawdopodobieństwa.
I sposób:
Mamy dwie możliwości - pierwszą wylosowaną kulą jest czarna, albo - pierwsza wylosowana kula jest w innym kolorze niż czarna.
Jeśli pierwsza była czarna, to druga może być dowolna (czyli prawdopodobieństwo w drugim losowaniu to 1).
Czyli prawdopodobieństwo takiej sytuacji to: 3/10·1=0,3
Natomiast jeśli pierwsza była inna niż czarna, to druga musi być czarna.
Czyli prawdopodobieństwo takiej sytuacji to: 7/10·3/10=0,21
Ponieważ obie te sytuacje są jednakowo prawdopodobne, prawdopodobieństwa te dodajemy:
P(A) = 3/10·1 + 7/10·3/10 = 0,3 + 0,21 = 0,51
II sposób:
Ponieważ jedynym zdarzeniem niesprzyjającym jest wylosowanie dwóch kul innych niż czarna, to możemy skorzystać z prawdopodobieństwa zdarzenia przeciwnego.
A' - zdarzenie, że obie wylosowane kule będą innego koloru niż czarny.
P(A') = 7/10·7/10=0,49
Czyli: P(A) = 1 - P(A') = 1 = 7/10·7/10 = 1 - 0,49 = 0,51
Tego typu zadania najwygodniej się robi na "drzewku" (załącznik) - przy każdej części gałęzi zapisujemy prawdopodobieństwo jej odpowiadające; sprawdzamy, na których gałęziach mamy wyniki jakich potrzebujemy, a potem obliczamy ich prawdopodobieństwo, pamiętając, że wzdłuż gałęzi mnożymy, a pomiędzy gałęziami dodajemy.
Uwaga dodatkowa:
Zadanie jest niezbyt jasno sformułowane. Prawdopodobieństwo rozpatruje konkretne sytuacje, więc w tym zadaniu powinno być jasno określone, czy: "z których dokładnie jedna jest czarna", czy "z których co najmniej jedna jest czarna"
